Demostrar que 1/x es una hipérbola

Question

Demuestre que 1/x es una hipérbola con focos dados por $(\sqrt2,\sqrt2)$ y $(-\sqrt2,-\sqrt2)$.

La idea es usar SOLAMENTE la definición de una hipérbola, es decir:

Sean $F_1$ y $F_2$ dos puntos dados. Una hipérbola $H$ es el conjunto de puntos en el plano tal que $$|distancia(P,F_1)-distancia(P,F_2)| =|distancia(Q,F_1)-distancia(Q,F_2)|,$$ para todos los puntos $P,Q$ en $H$.

Para ser más preciso, no quiero usar ninguna noción de matrices ya que no tengo antecedentes en álgebra lineal.

Lo que hice fue elegir un punto genérico de la forma $(x,1/x)$ y trabajar con $$|distancia(F_1,P)-distancia(F_2,P)|,$$ donde $F_1=(\sqrt2,\sqrt2), F_2=(-\sqrt2,-\sqrt2)$ y $P=(x,1/x)$. El problema fue que no pude demostrar que el resultado es independiente de $x$.

Dado que eso no funcionó y sabiendo que $(1,1)$ pertenece a la hipérbola, calculé la diferencia de las distancias entre ese punto y los focos y el resultado es

$$distancia(F_2,(1,1))-distancia(F_1,(1,1))=\sqrt2(\sqrt2+1)- \sqrt2(\sqrt2-1)=2\sqrt2.$$

Por lo tanto, el valor constante que espero obtener es $2\sqrt2$, ¡lo cual no puedo obtener en el caso general!

Después de eso, intenté con $(2,1/2)$, el resultado fue

$$distancia(F_2,(2,1/2))-distancia(F_1,(2,1/2))=\frac{\sqrt{33+20\sqrt2}}{2}-\frac{\sqrt{33-20\sqrt2}}{2} $$

La clave es darse cuenta de que $$\frac{\sqrt{33\pm 20\sqrt2}}{2}= \frac{5}{2}\pm \sqrt2.$$ (según Wolfram). Sin embargo, no sé cómo hacer un arreglo algebraico para obtener eso. Con eso en mente, espero obtener para el caso general algo como $$f(x)+\sqrt2-(f(x)-\sqrt2),$$ donde por supuesto $f(x)$ debería ser algún número dependiendo de $x$. Sin embargo, no estoy siendo capaz de hacerlo.

Se agradece cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Ten en cuenta que dado que $F_i$ son puntos, $$ dist(F_i,P) = |F_i - P|.$$ Tomando $F = F_1=(\sqrt2,\sqrt2)$, obtenemos $-F=F_2$. Luego se nos pide verificar que

$$ \Big||P-F| - |P+F|\Big| \text{ es constante en $P$,}$$ donde $P=(x,1/x)$ es un punto arbitrario en la gráfica de $1/x$. Calculamos directamente,

$$ |P\pm F|^2 = (x\pm \sqrt 2)^2 + (1/x \pm \sqrt2)^2 = x^2 + x^{-2} +4 \pm 2\sqrt{2}(x+x^{-1}) $$ Lo siguiente es quizás un truco, $$ x^2 + x^{-2} + 2 = (x+x^{-1})^2$$ Reconociendo la importancia de $x+x^{-1}$, sea $t = x+x^{-1}$. Ten en cuenta que para $x\in\mathbb R\setminus \{0\}$, $|t|\ge \color{orange}{2}$. Entonces $$ |P\pm F|^2 = t^2 \pm 2\sqrt 2 t + (\sqrt{2})^2 = (t \pm \sqrt 2)^2$$ Por lo tanto, $$ |P+ F| - |P- F| = |t + \sqrt 2| - |t - \sqrt 2| = \begin{cases} 2\sqrt{2}&t>\color{blue}{\sqrt{2}},\\[0.6em] -2\sqrt{2} & t<-\color{blue}{\sqrt{2}},\\ \text{a quién le importa} & \text{en otro caso.} \end{cases}$$ Dado que $\color{blue}{\sqrt{2}}<\color{orange}2$, $\Big||P+ F| - |P- F|\Big| = 2\sqrt{2}$ para todos los $P$ de la forma $(x,1/x)$, donde $x\in \mathbb R\setminus \{0\} $.