Probar numerador de suma es divisible por primo p

Question

Deje $p$ ser un extraño prime. Para cada entero $a$, conjunto

$$S_a=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{a^k}{k} .$$

Escribir $S_4+S_3-3S_2$ en el formulario $$S_4+S_3-3S_2=\frac{m}{n}$$ donde $n,m\in\mathbb Z$ satisfacer $\gcd(n,m)=1$.

Cómo mostrar que $p $ divide $ m$ ?

Intentado buscar en primera y última $k$th elementos:

$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{a^k}{k}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{a^k(p-k)+a^{p-k}k}{k(p-k)}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{a^kp-a^kk+a^{p-k}k}{k(p-k)}=\frac m n$$

Si se $a^k=1$, estaríamos de hecho (tendríamos armónica de la suma). Pero el problema es $a^k=4^k+3^k-3\cdot2^k$ y la observación anterior no puede ayudar con eso.

Agrupación de términos de la suma parece un callejón sin salida. Por ejemplo,

$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{a^k}{k}=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}a^k\frac{(p-1)!}{k}}{(p-1)!}$$

Y mirando modulo $p$ términos en el numerador, no produce nada bueno.

Aunque $p=5$ los rendimientos de la falsa esperanza de $4+1+1+4=0+0=0$ de agrupamiento $1.$,$2.$ e $3.$,$4.$,

ya, por ejemplo, $p=11$ da $10+ 10+ 7+ 2+ 10+ 7+ 1+ 9+ 0+ 10=0$, una secuencia, sin un patrón, así que no estoy seguro de cómo ir en demostrar a todos ellos se suma a $0$ modulo $p$.

Primer y último término (el teorema de Euler) son evidentemente $=1=p-1$ modulo $p$, pero no estoy seguro de cómo los términos en el medio puede ser manejado.