Permítanme ampliar aquí la cuestión planteada en los comentarios. En primer lugar, he malinterpretado ligeramente su pregunta. Tenía en mente los medios ergódicos biparamétricos dados por $$ A_{n,m}(f) = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{m - 1} f(T^i x, T^j y). $$ No los medios $A_{n}(f) = A_{n,n}(f)$ . Para la primera es necesario estar en $L \log L(\Omega)$ . Para la segunda no tengo una respuesta definitiva. Puede ser suficiente con estar en $L^1$ , ver la edición de abajo .
En primer lugar, se conoce el siguiente resultado.
Teorema: Por cada $f \in L \log L(\Omega,\mu)$ , donde $(\Omega, \mu) = (\Omega_1 \times \Omega_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ y la transformación ergódica $T_i:X_i \to X_i$ las dos medias ergódicas paramétricas $$ A_{n,m}(f) = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{m - 1} f(T^i x, T^j y) $$ convergen casi en todas partes $A_{n,m}(f) \to f$ .
La prueba utiliza los siguientes pasos
- Para cada $i$ utilizar el tipo débil máximo $(1,1)$ desigualdad ergódica máxima.
- Utiliza la interpolación real para conseguirlo: $$ \Big\| \sup_{n \geq 0} A^i_{n}(|f|) \Big\|_p \lesssim \max \Big\{ 1, \frac1{p - 1} \Big\} \, \| f \|_p $$
- utilizar la extrapolación de Yano [Y] para obtener que el operador maximal anterior mapea $L \log L(\Omega)$ en $L^1(\Omega)$ por cada $i$ .
Entonces, copiando el argumento de [JMZ], se tiene que el mapa $f \mapsto f^\ast$ dado por $$ f^\ast(x,y) = \limsup_{n, m \to \infty} A_{n,m}(|f|) $$ mapas $L \log L(\Omega)$ en $L_1(\Omega)$ . Sólo por composición, tenemos que $$ \limsup_{n, m \to \infty} A_{n,m}(|f|) \leq \limsup_{n \to \infty} A^1_{n} \bigg( \underbrace{\sup_{m \geq 0} A_m^2|f|}_{g} \bigg) $$ Pero la función $g$ está en $L^1(\Omega)$ como la función $f$ está en $L \log L$ . Ahora, usando eso para cada función en $L^1(\Omega)$ tenemos convergencia en casi todas partes (y por tanto el limsup es intercambiable por el lim) podemos concluir. El hecho de que $f^\ast$ está en $L^1$ da una convergencia en casi todas partes por el mismo argumento que se utiliza con las funciones maximales.
Voy a ir más allá y conjeturar que lo siguiente es cierto (probablemente conocido por los expertos):
Abierto (que yo sepa) Por cada $\varphi$ con $\varphi \in o(x \log x)$ tenemos que hay un elemento $f \in L_\varphi(\Omega)$ , de tal manera que $A_{n,m}(f) \not\to f$ .
Se sabe, ver [JMZ, Teorema 8]. Que esto se cumple en el caso de la diferenciabilidad de las integrales. Intentaré adaptar el argumento al caso ergódico. También es probable que sea cierto, ya que algo similar ocurre con las martingalas [G].
[G] Gundy, R. F. , Sobre la clase L log L, martingalas e integrales singulares , Stud. Math. 33, 109-118 (1969). ZBL0181.44202 .
[JMZ] Jessen, B.; Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A. , Nota sobre la diferenciabilidad de las integrales múltiples. , Fundamenta Math. 25, 217-234 (1935). ZBL61.0255.01 .
[Y] Yano, Shigeki , Notas sobre el análisis de Fourier. XXIX. Un teorema de extrapolación J. Math. Soc. Japan 3, 296-305 (1951). ZBL0045.17901 .
P.D.: Para sus propósitos, tal vez sea suficiente si usted toma los promedios ergódicos habituales con respecto a $$ S = p (\mathrm{id} \otimes T) + q (T \otimes \mathrm{id}) $$ para $p + q = 1$ . Sus promedios ergódicos serán sumas ponderadas concentradas como gaussianas alrededor de la diagonal $i = j$ .
Editar He encontrado una solución (casi) completa en $L^1$ en el siguiente documento:
Hay que interpretar $(i,j) \mapsto T^i \otimes T^j$ como una acción de $\mathbb{Z}^2$ y usar eso $[0,N]$ es una secuencia de Foelner bien temperada (en el sentido de ese documento). Eso le daría casi en todas partes la convergencia para los medios $A_{n,n}(f)$ para cada $f \in L^1(\Omega)$ .
