Aplicando la transformada de Fourier a las ecuaciones de Maxwell.

Question

Tengo el siguiente las ecuaciones de Maxwell:

$$\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial{\mathbf{e}}}{\partial{t}} + \dfrac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{t}},$$

$$\nabla \times \mathbf{e} = - \mu_0 \dfrac{\partial{\mathbf{h}}}{\partial{t}}$$

Según mi libro de texto (siempre como pasar comentario por el autor), la transformada de Fourier,

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j \omega t} \ dt,$$

puede ser aplicado a las ecuaciones de Maxwell para ir desde el dominio del tiempo $t$ a la frecuencia angular de dominio $\omega$.

Mi entendimiento es que esto nos llevaría de

$$\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial{\mathbf{e}}}{\partial{t}} + \dfrac{\partial{\mathbf{p}}}{\partial{t}}$$

a

$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + j \omega \epsilon_0 \mathbf{E} + j \omega \mathbf{P} = \mathbf{J} + j \omega \mathbf{D}$$

y

$$\nabla \times \mathbf{e} = -\mu_0 \dfrac{\partial{\mathbf{h}}}{\partial{t}}$$

a

$$\nabla \times \mathbf{E} = - j \omega \mu_0 \mathbf{H}$$

Quiero entender cómo hacer esto de la experiencia de aprendizaje.

Tengo la experiencia con la transformada de Laplace, pero no la transformada de Fourier, y no puedo encontrar nada en línea que pasa a través de los pasos de la transformación. No acabamos de aplicar la transformada de Fourier $F(\omega)$ a cada término en las ecuaciones de Maxwell? ¿Cómo lidiar con la presencia de vector de términos en el contexto de esa integración?

Por ejemplo, tenemos

$$\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{\hat{i}} (\partial_y h_z - \partial_z h_y) - \mathbf{\hat{j}} (\partial_x h_z - \partial_z h_x) + \mathbf{\hat{k}} (\partial_x h_y - \partial_y h_x)$$

Les agradecería mucho si la gente podría, por favor tome el tiempo para aclarar esto.

Answer 1

La primera cosa a recordar es que la transformada de Fourier $\mathcal{F}$ es lineal: $$ \mathcal{F}(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathcal{F}(f)+\beta \mathcal{F}(g) $$ También cambia la diferenciación en la multiplicación. Deje $F(\omega)$ ser la transformación de $f(t)$. Entonces: $$ \mathcal{F}(D_tf)(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}D_tf(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t = f(t)e^{-j\omega t}|_{-\infty}^{\infty}+j\omega\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t = 0 + j\omega F(\omega) $$ Para que esto realmente sea correcta, el término de integración por partes se tiene que desaparecer en el límite. Esto impone algunas condiciones técnicas. También, si $f$ pasa a ser periódico, la transformada de Fourier (probablemente) no existen en la norma de sentido y puede requerir el uso de distribuciones. No voy a extenderme sobre estos temas aquí (sobre todo porque yo en realidad no sé mucho acerca de la teoría detrás de estas preocupaciones), pero tal vez usted puede hacer una pregunta acerca de este proceso funciona, o tal vez alguien más puede agregar otra pregunta con respecto a este.
De todos modos, voy a hacer la formal manipulaciones aquí (como normalmente se hace en las clases de física). En su caso, hemos funciones de varias variables $({\bf r}, t)$. Sin embargo, esto no es un problema. Por ejemplo: $$ \mathcal{F}(\partial_t{\bf e})({\bf r},\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\partial_t{\bf e}({\bf r},t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t= j\omega {\bf E}({\bf r},\omega) $$ Aquí, el proceso es exactamente el mismo que el anterior ya que se puede mantener a ${\bf r}$ fijo y así que usted puede utilizar la integración por partes en $\partial_t$. Si usted está preocupado por el vector de términos, aviso que esto no es diferente de la integración de cualquier otra función ${\bf f}(u)$ con valores en $\mathbb{R^3}$ (voy a omitir la integración de los límites debido a que en realidad no importa): $$ \int{\bf f}(u)\mathrm{d}u=\left(\int f_x(u)\mathrm{d}u,\int f_y(u)\mathrm{d}u,\int f_z(u)\mathrm{d}u\right) $$ O, en el componente de notación ($i=x,y,z$):$$ \left(\int{\bf f}(u)\mathrm{d}u\right)_i=\int f_i(u)\mathrm{d}u$$ El curl no es también problemático, ya que la distribución espacial de los derivados commmute con el tiempo de integración: $$ \int\partial_x{\bf f}({\bf r},t)\mathrm{d}t=\partial_x\int{\bf f}({\bf r},t)\mathrm{d}t $$ Debido a esto, usted puede inmediatamente a la conclusión de que $\mathcal{F}(\partial_x{\bf f})=\partial_x\mathcal{F}({\bf f})$. La escritura sólo el $x$-componente: $$ \left(\mathcal{F}(\nabla\times{\bf f})\right)_x=\mathcal{F}(\partial_yf_z-\partial_zf_y)=\partial_yF_z-\partial_zF_y = (\nabla\times{\bf F})_x $$ Aquí ${\bf F}=\mathcal{F}({\bf f})$. Los otros dos componentes funcionan exactamente de la misma manera. Por último, la ecuación de $$\nabla\times{\bf h}={\bf j}+\epsilon_0\partial_t{\bf e}+\partial_t{\bf p}$$ y se aplican $\mathcal{F}$ a ambos lados. Por la linealidad y lo que hemos dicho acerca de la $\nabla\times$, nos encontramos con $$ \mathcal{F}(\nabla\times{\bf h})=\mathcal{F}({\bf j}+\epsilon_0\partial_t{\bf e}+\partial_t{\bf p})$$ $$ \nabla\times\mathcal{F}({\bf h})=\mathcal{F}({\bf j})+\epsilon_0\mathcal{F}(\partial_t{\bf e})+\mathcal{F}(\partial_t{\bf p}) $$ Teniendo en cuenta lo $\mathcal{F}$ ¿a $\partial_t$, finalmente se obtiene: $$ \nabla\times{\bf H}={\bf J}+j\omega\epsilon_0{\bf E}+j\omega{\bf P} $$ La otra ecuación de la siguiente manera traje.

Como un comentarista ha señalado, esto es una transformada de Fourier en tiempo. También es posible hacer una transformada de Fourier en coordenadas espaciales. Estos dos enfoques son complementarios; a menudo, tanto las transformadas de Fourier se toman y así cambiamos de $({\bf r},t)$-espacio para $({\bf k},\omega)$-espacio donde ${\bf k}$ es el vector de onda.

Answer 2

En el caso general, estas ecuaciones no se aplican y que necesita suma de fourier para señales periódicas y la integral de fourier para no señales periódicas. Sin embargo, en el tiempo armónico caso(sinusoidal tiempo armónico), los derivados de operar siempre en $e^{j \omega t}$, por lo que la diferenciación de una vez significa multiplicar por $j \omega$, la segunda derivada se convertirá ${-\omega}^2$ etc. Aplicar estos a las ecuaciones de Maxwell y el resultado se sigue inmediatamente.

Edición de aclaración

En lugar de considerar seno o coseno funciones, consideramos que la función exponencial, $f(t) = f e^{j \omega t}$. Donde $f(t)$ es tiempo armónico de la función y $f$ tiene tanto de real y la parte imaginaria y $f$ no es dependiente del tiempo: $f = f_r +j f_i$ . A partir de este complejo de notación, podemos volver a la forma sinusoidal en cualquier momento, tomando la parte real de la $f(t)$; $F(t) = \Re(f e^{j \omega t})$ y utilizando el hecho de $e^{j \omega t} = cos(\omega t) + j sin(\omega t)$.

También vemos que $f'(t) = j \omega f(t)$, $f''(t) = (j \omega)^2f(t) = -\omega^2f(t)$ , y así sucesivamente por mayor de derivados.Lo que significa que usted reemplace el tiempo de los derivados en las ecuaciones con multiplicaciones. Tenga en cuenta que las funciones dependen ahora de sólo 3 coordenadas de localización de la $\mathbf{\vec{r}}$, como la dependencia del tiempo $e^{j \omega t }$ se ha caído de cada término de las ecuaciones de Maxwell. Estos no funcionan en el caso general, pero a la vez armónico caso es por lejos el más importante en la práctica.