¿Podemos aproximarnos a matrices invertibles con matrices invertibles en todas partes en$L^2$ sense?

Question

Deje $\mathbb{D}^n=\{ x \in \mathbb{R}^n \, | \, |x| \le 1\}$ ser la bola unidad cerrada, y deje $A:\mathbb{D}^n \to \mathbb{R}^{n^2}$ ser real-analítica en el interior de la $(\mathbb{D}^n)^o$ y suave en todo el cerrado de la bola de $\mathbb{D}^n$. Supongamos que $n \ge 2$, y que $\det A >0$ a.e. en $\mathbb{D}^n$.

Hay liso mapas de $A_k: \mathbb{D}^n \to \mathbb{R}^{n^2}$, de tal manera que $A_k \to A$ en $L^2(\mathbb{D}^n , \mathbb{R}^{n^2})$ e $\det A_k >0$ todas partes en $\mathbb{D}^n$?

En cada punto donde $\det A=0$, podemos perturbar ligeramente para hacer que sea invertible. La cuestión es si podemos "pegamento" todas estas perturbaciones locales en un mundial medible sección que se aproxima $A$ en $L^2$.

Tenga en cuenta que si estábamos interesados en $W^{1,2}$ aproximaciones, entonces esto no es siempre posible, debido a topológico de obstrucciones.

Asimismo, el conjunto $\det A=0$ ha dimensión de Hausdorff $\le n-1$, como es el ajuste a cero de una analítica de la función.

Answer 1

Aplicar Vitali que cubre el teorema de obtener una secuencia de cerrado bolas $B_n\subset\{x|det A(x)>0\}$ que cubren todo, sino un conjunto null. Tomaremos $A_k$ a ser igual a la matriz identidad fuera de $B_1,\cdots,B_k.$ Dentro de cada bola de $B_n=B(x_n,r_n)$ con $n\leq k$ definir $A_k$ por:

• $A_k(x_n+tr_ny)=A(x_n+g(t)r_ny)$ para $0\leq t\leq 1-1/4k$ y de la unidad de vectores $y,$ donde $g(0)=g(1-1/4k)=0$ e $g(1-1/2k)=1-1/2k,$ con interpolación lineal entre estos puntos
• $A_k(x_n+tr_ny)=A(\gamma_n(4k(t-1+1/4k)))$ para $1-1/4k\leq t\leq 1$ y de la unidad de vectores $y,$ donde $\gamma_n$ es una opción de ruta de $x_n$ a la matriz identidad

Esta debe ser continua y dar $A_k\to A$ en la medida, que fácilmente implica $L^2$ convergencia, ya que todo está acotada.