Dado un anillo conmutativo $R$ y un epimorphism $R^m \to R^n$ luego $m \geq n$?

Question

Si $\varphi:R^{m}\to R^{n}$ es un epimorphism de libre módulos sobre un anillo conmutativo, no se sigue que la $m \geq n$?

Esto es obviamente cierto para espacios vectoriales sobre un campo, pero ¿cómo se podía mostrar esto en un anillo conmutativo?

-----Editar

Hay alguna forma de utilizar la siguiente?

Si $\varphi : M \to M'$ es un epimorphism de izquierda $S$-módulos de e $N$ es cualquier derecho $S$-módulo, a continuación, $id_N \otimes \varphi $ es un epimorphism.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios a la pregunta, es la primera parte del Ejercicio 2.11 en Atiyah-MacDonald, y me refiero a los comentarios de una respuesta.

La segunda parte del Ejercicio 2.11 (que es tal vez el más interesante) ha sido el tema de este MO pregunta.

Me gusta especialmente Balazs Strenner la respuesta.

EDIT. Aquí es el Ejercicio 2.11 de Atiyah-MacDonald. Deje $A$ ser distinto de cero anillo conmutativo y $\phi:A^m\to A^n$ $A$- lineal mapa. Entonces

(a) $m\ge n$ si $\phi$ es surjective,

(b) $m\le n$ si $\phi$ es inyectiva,

Como se señaló en los comentarios a la pregunta, no es una prueba evidente de (un) [tensor con $A/\mathfrak m$, $\mathfrak m$ máxima]. Mi favorito de la prueba de (b) es Strenner del mencionado anteriormente. Una pregunta natural es: ¿Puede uno usar Strenner del argumento para probar (a) y (b) de una sola vez? Voy a tratar de hacer que la de abajo.

Lema. Deje $B$ ser un anillo conmutativo, $A$ un sub-anillo, $b$ un elemento distinto de cero de a $B$ integral $A$ y que no es un divisor de cero. Entonces no es un valor distinto de cero $a$ $A$ y un monic $f$ $A[X]$ tal que $a=bf(b)$.

Prueba. Deje $g\in A[X]$ ser un mínimo grado monic polinomio aniquilando $b$. Existe debido a $b$ integral $A$. El término constante $a$ $g$ es distinto de cero debido a que $b$ es distinto de cero y no es un divisor de cero. QED

Suponga que (a) [resp. (b)] es falsa. A continuación, hay un $n$ y un surjective [resp. inyectiva] endomorfismo $b$ $A^n$ satisfacción $b(e_n)=0$ [resp. $b(A^n)\subseteq A^{n-1}$], donde $e_n$ es el último vector de la base canónica y $A^{n-1}$ es el lapso de todos los otros vectores de esta base. A continuación, $b$ integral $A$ por Cayley-Hamilton, y obtenemos una contradicción mediante el lema (con $B:=A[b]$) y la aplicación de $a=bf(b)$$e_n$.