Relaciones de conmutación de los generadores del grupo conforme

Question

Mi pregunta se refiere a la página 98 del libro de Di Francesco sobre la teoría de campos conformes. Él da las seis relaciones de conmutación no evanescentes entre los elementos $P_{\mu}, D, L_{\mu \nu}$ y $K_{\mu}$ que comprende el espacio cuatridimensional de generadores del grupo conforme. A continuación, se reescriben definiendo un conjunto de cuatro generadores más: $$J_{\mu \nu} = L_{\mu \nu}\,\,\,,\,\,\,J_{-1, \mu} = \frac{1}{2}(P_{\mu} - K_{\mu})\,\,\,,\,\,\,J_{-1,0} = D\,\,\,,\,\,\,J_{0,\mu} = \frac{1}{2}(P_{\mu} + K_{\mu}),$$ y creo que la motivación para hacerlo es que las seis relaciones de conmutación mencionadas anteriormente pueden ser elocuentemente refundidas en una única relación de conmutación de una línea $$[J_{ab}, J_{cd}] = i(\eta_{ad}J_{bc} + \eta_{bc}J_{ad} - \eta_{ac}J_{bd} - \eta_{bd}J_{ac})$$ También dice que $a,b \in \left\{-1,0,1,\dots,d\right\}$ y que los nuevos generadores obedecen a la $SO(d+1,1)$ relaciones de conmutación (que creo que es la ecuación de una línea anterior).

Mi pregunta es: ¿Qué hacen los índices $a,b$ y qué representa la notación $SO(d+1,1)$ ¿quieres decir? Creo que hay $d$ dimensiones espaciales, pero no veo cuál es el significado de la $-1$ y $0$ elementos son.

Muchas gracias.

Answer 1

Los índices $a$ y $b$ se eligen de tal manera que la inserción de diferentes combinaciones de valores de $-1$ a $d$ da sólo las seis relaciones de conmutación originales para los generadores de las transformaciones de simetría conformes. Como has sugerido correctamente, el objetivo de esto es reescribir las seis relaciones en forma compacta.

Esto último demuestra que el grupo conforme viene dado en realidad por $\text{SO}(d+1,1)$ que es el grupo de transformaciones ortogonales especiales en $d+1$ espacial y $1$ dimensiones temporales, donde $d$ es el número de dimensiones espacio-temporales. $0$ representa el componente temporal, mientras que $-1$ es espacial y aparece porque tenemos dilataciones y transformaciones conformes especiales. Nótese que $-1$ no es una dimensión espacial con respecto al espaciotiempo, sino una dimensión adicional con respecto a la acción del grupo.

Answer 2

Sólo sigo la respuesta de Frederic. Yo no me complicaría demasiado pensando en una métrica que incluya $\eta_{-1-1}$ . La métrica se refiere realmente al espaciotiempo y no hay ninguna nueva dimensión espacial que hayamos introducido. Es sólo una forma de etiquetar los generadores - sus índices no se refieren necesariamente a las dimensiones del espaciotiempo, aunque sí lo hacen para la mayoría de los $J$ aquí.

Deberías separar un poco la idea del grupo de simetría del espaciotiempo. Lo que quiero decir es que pareces estar colgado pensando en SO(3) como el grupo de isometrías del espacio 3 y quizás SO(3,1) como las isometrías del espacio de Minkowski (quizás no sabías esa última parte pero es cierta), y por lo tanto pensando que necesitas un espaciotiempo más grande para tener SO(d+1,1).

Sin embargo, es no necesariamente el caso de que el grupo de simetría de una teoría en d dimensiones espaciales y n dimensiones temporales sea SO(d,n). Resulta que es cierto para el espacio euclidiano y el espacio de Minkowski sin invariancia conformacional, por lo que nos perjudica. Pero en realidad, sólo es un prejuicio asumir que el grupo de simetría (máximo) es SO(d,n). Es decir, es cierto en la mayoría de las QFT que aprendemos por primera vez. Y además, en las teorías con invariancia conformacional, SO(d,n) está contenido como un subgrupo, y no necesitábamos preocuparnos por si era parte de un grupo mayor cuando aprendíamos QFT.

Creo que hay un error en la respuesta de Frederic. El grupo conforme en d dimensiones espaciales y n temporales es SO(d+1,n+1). Así que una CFT en el espacio euclidiano de 4 dimensiones es un rep de SO(5,1) y en el espacio de Minkowski de 4 dimensiones es un rep de SO(4,2).

Una cosa muy interesante sobre todo esto: se podría preguntar, ¿qué es un espaciotiempo donde SO(4,2) realmente es ¿sólo rotaciones generalizadas (en lugar de rotaciones + SCTs + dilataciones)? Pues bien, $AdS_5$ ¡es uno! Esta puede ser la primera pista de la existencia de la correspondencia AdS-CFT. Una CFT en un espaciotiempo de 3+1 dimensiones obedece al mismo álgebra que las isometrías de $AdS_5$ . Ver "ANTI-DE SITTER SPACE" de Ingemar Bengtsson - Las páginas 1-5 dan una buena y concisa introducción al espaciotiempo AdS y sus isometrías.