La suma de dos variables aleatorias simétricas es simétrica.

Question

Si $X$ $Y$ son dos variables aleatorias con funciones de densidad de probabilidad que son simétricas alrededor de sus respectivos medios, su suma, $X+Y$, tiene una función de densidad de probabilidad que es simétrica alrededor de su media así.
Podría alguien ofrecen una prueba de contorno? Gracias.

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Editar:
whuber del ejemplo (ver comentarios) muestra que el simplemente especificando simétrica marginales no se traduce en una simétrica suma
Dilip Sarwate la respuesta que da a dos condiciones, cada uno de los cuales es suficiente por sí mismo: simetría circular de la articulación y la independencia de los marginales

Answer 1

Esto se parece mucho a una tarea de ejercicio, pero sin embargo, aquí va.

Si $X$ $Y$ cero significa independiente de variables aleatorias, entonces (suponiendo que son continuas las variables aleatorias) tenemos que para cualquier $z$, $f_{X+Y}(z)$ está dado por la convolución de las densidades marginales. Por lo tanto, $$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_{-\infty}^\infty f_X(z-y)f_Y(y)\,\mathrm dy \tag{1}\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_X(y-z)f_Y(-y)\,\mathrm dy, &\text{symmetry of the densities}\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_X(-t-z)f_Y(t)\,\mathrm dt, &\text{substitution: } t = -y\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_X((-z)-t)f_Y(t)\,\mathrm dt,\\ &= \int_{-\infty}^\infty f_X((-z)-y)f_Y(y)\,\mathrm dy, &\text{substitution: } t = y \tag{2}\\ &= f_{X+Y}(-z) &\text{on comparing (1) and (2)}\tag{3} \end{align}$$ Si $X$ $Y$ tienen distinto de cero significa $\mu_X$ $\mu_Y$ respectivamente y sus densidades son simétricas respecto a sus respectivos significa, entonces, $\hat{X} = X-\mu_X$ $\hat{Y} = Y - \mu_Y$ puede ser utilizado en la anterior prueba para demostrar que $\hat{Z} = \hat{X} + \hat{Y} = (X+Y) - (\mu_X+\mu_Y) = Z - \mu_Z$ tiene una densidad simétrica sobre $0$, y por lo $Z$ tiene una densidad simétrica alrededor de $\mu_Z$. O, podemos utilizar el esquema sugerido en @Quantibex la respuesta a incorporar los medios en la prueba en sí.

Las pruebas semejantes puede ser escrito para el discretas variables aleatorias.

Mientras que el resultado siempre es cierto para variables aleatorias independientes, se puede sostener por algunos dependiente de variables aleatorias así. Como un ejemplo, vea este recientemente cerrado pregunta donde se muestra que si $(X,Y)$ distribuidos uniformemente sobre la unidad de disco (y por lo tanto tienen simétrica marginal densidades pero no son independientes), a continuación, $X+Y$ también tiene un simétrico densidad; de hecho, $$f_{X+Y}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}f_X\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right). \tag{4}$$ De hecho, $(4)$ es verdadera siempre que $(X,Y)$ tiene un circular simétrica de la articulación de la densidad (densidad uniforme, como en el cerrado pregunta, no es necesario). Otro buen ejemplo (con un valor distinto de cero significa) es la articulación de la densidad que tiene el valor de $2$ sobre el trapezoidal región con vértices $(0,0), (1,1), (\frac 12, 1), (0,\frac 12)$ y en la región triangular con vértices $(\frac 12,0), (1,0), (1,\frac 12)$. Es fácil verificar que $X$ $Y$ han marginal densidades $U(0,1)$ que son simétricas respecto a sus la media de $\frac 12$, y que son noindependientes. Sin embargo, la densidad de su suma es la convolución de la marginal densidades y es simétrico con respecto al $1$.

Answer 2

Un esquema de una prueba (en el caso de que $X$ $Y$ son independientes) es la siguiente.

Denotar $f_X$ $f_Y$ el de las funciones de densidad de $X$$Y$, e $\mu_X$ $\mu_Y$ sus respectivos medios. Tenga en cuenta que $f_X(\mu_X + x) = f_X(\mu_X - x)$ todos los $x$ por la simetría de $f_X$, y de manera similar a $f_Y(\mu_Y + y) = f_Y(\mu_Y - y)$ todos los $y$.

Deje $Z = X + Y$, y denotan $f_Z$ su función de densidad y $\mu_Z$ su media. Obviamente, $\mu_Z = \mu_X + \mu_Y$.

Se puede demostrar que $f_Z$ es la convolución $f_X * f_Y$$f_X$$f_Y$, donde $$ (f_X * f_Y)(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(z - y)f_Y(y) dz . $$

Para probar la simetría de $f_Z$, muestran que $f_Z(\mu_Z + z) = f_Z(\mu_Z - z)$ todos los $z$ utilizando la convolución $f_X * f_Y$, con un cambio de variable como $y = t + \mu_Y$, y el uso de las propiedades de simetría de $f_X$$f_Y$.