Christoffel simboliza la igualdad

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Deje $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ ser abierto y $g$ una métrica de campo en $\Omega$. Para cada $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ deje $\Xi^i_{jk}[\phi]$ funciones $\Omega$ que transforman de la misma manera que los símbolos de Christoffel $\Gamma^i_{jk}[\phi]$ $$ \Xi^i_{jk}[\phi](y) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^p}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y). $$ Supongamos que para cada una de las $y_0 \in \Omega$ no es un porcentaje ($\phi_0 \in \mathrm{Diff}(\Omega)$tal que $\Xi^i_{jk}[\phi_0](y_0) = 0$$(\partial_a g_{bc})[\phi_0](y_0)=0$. Espectáculo $\Xi^i_{jk}[\phi] =\Gamma^i_{jk}[\phi]$ todos los $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$.

En primer lugar gracias por todas tus respuestas.

Ahora sé, que $T^{i}_{\ jk}$ es un campo Tensorial y que $T^{i}_{\ jk}[\phi_0](y_0) = 0$. Pero yo estoy luchando con el último paso. En la segunda respuesta,hay un $x_0$ defind por $x_0 = \phi^{-1}(y_0)$. No creo que uno puede razonar que $\forall x_0 \in \Omega \ \exists \phi_0: T^{i}_{\ jk}[\phi_0](\phi_0(x_0))$, debido a que no todos los puntos $x$ $\Omega$ cumplir $x = \phi_0^{-1}(y_0)$. Cada $y_0$ puede tener diferentes diffeomorphism $\phi_0$, con lo cual se cumple $\Xi^i_{jk}[\phi_0](y_0) = 0$. Por lo $x_0 = \phi_0(y_0)$ no es bijective.

Ya he hecho diferentes intentos, pero yo no deshacerse de la dependencia de $y_0$$\phi_0$.

Answer 1

Traté de resolver el ejercicio siguiendo la sugerencia, puede alguien por favor decirme si es correcto? Gracias

Definimos:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y) := \Xi^i_{\,jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y)$

Así vemos que esta se transforma como un Tensor:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y)= \Xi^i_{jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y) = \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y) \bigg)- \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Gamma^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y)\bigg) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y))$

DESPUÉS DE ESTE PUNTO, LA PRUEBA ESTÁ MAL, VER LA RESPUESTA EN LA PARTE INFERIOR DE LA CONTINUACIÓN

Aún dejo aquí para que usted pueda ver lo que mi idea original era (antes de modificar las pautas de ejercicio), no más:

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Ahora tenemos que para nuestro $y_0$$\phi_0$:

$\Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](y_0)=\frac{1}{2} g^{il}(\partial_k g_{lk} + \partial_j g_{lk} - \partial_l g_{jk})[\phi_0](y_0)=\frac{1}{2} g^{il}(\partial_k g_{lk}[\phi_0](y_0) + \partial_j g_{lk}[\phi_0](y_0) - \partial_l g_{jk}[\phi_0](y_0))=0$

Así, obtenemos para nuestro $y_0$$\phi_0$ :

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](y_0) := \Xi^i_{\,jk}[\phi_0](y_0) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](y_0)=0$

Desde $T$ es un tensor esto Implica:

$(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi_0^{-1}(y_0))\overset{!}{=}0$

Ahora nos damos cuenta de que desde $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ tenemos que $y_0\in\Omega$ esto implica que para cada una de las $y_0$ podemos encontrar una $x_0\in\Omega$ s.t $y_0=\phi_0(x_0)$, por lo que la restricción es igual a:

$\forall x_0\in\Omega$ $\exists$ $\phi_0$ s.t $T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(x_0))=0$

Ahora podemos tomar cualquier $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ $\phi=\phi\circ\phi_0^{-1}\circ\phi_0:=\tilde{\phi}\circ\phi_0$

Por lo que finalmente obtenemos: $\forall x_0\in\Omega$

$T^{i}_{\,jk}[\phi](\phi(x_0))=T^{i}_{\,jk}[\phi](\phi\circ\phi_0^{-1}(y_0))=T^{i}_{\,jk}[\tilde{\phi}\circ\phi_0](\tilde{\phi}(y_0))= \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\tilde{\phi}(y_0)) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\tilde{\phi}(y_0) ) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}]((\tilde{\phi}\circ\phi_0)^{-1}(\tilde{\phi}(y_0)))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}((\tilde{\phi}\circ\phi_0)^{-1}(\tilde{\phi}(y_0)))=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\tilde{\phi}(y_0)) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\tilde{\phi}(y_0) ) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}]((\phi_0^{-1})(\tilde{\phi}^{-1}\circ\tilde{\phi}(y_0)))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}((\phi_0^{-1})(\tilde{\phi}^{-1}\circ\tilde{\phi}(y_0)))= \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\tilde{\phi}(y_0)) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\tilde{\phi}(y_0) ) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi_0^{-1}(y_0))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi_0^{-1}(y_0))=0$

$\forall \phi\in Diff(\Omega)$

Esto implica:

$\forall \phi\in Diff(\Omega)$ => $T^{i}_{\,jk}[\phi] = \Xi^i_{\,jk}[\phi] - \Gamma^i_{\,jk}[\phi]=0$

$\Xi^i_{\,jk}[\phi] = \Gamma^i_{\,jk}[\phi]$

$\blacksquare$

Answer 2

Para empezar podrías definir lo siguiente:

$$ T ^ {i} _ {\, jk} [\ phi] (y): = \ Xi ^ i _ {\, jk} [\ phi] (y) - \ Gamma ^ i _ {\, jk} [\ phi] (y) $$ Desde las instalaciones, usted sabe que existe$\phi_0 \in$ Diff$(\Omega)$ y$y_0 \in \Omega$ para que$\Xi^i_{\,jk}[\phi_0](y_0) = 0$ y también pueda mostrar, que el símbolo de Christoffel es cero en esas coordenadas.

Luego, muestre que$T$ se transforma de la misma manera que un tensor, es decir, es un tensor.

¡Ahora solo tienes que probar la invariancia bajo los difeomorfismos y ya has terminado!

Answer 3

El final/solución correcta debe ser la siguiente:

Definimos:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y) := \Xi^i_{\,jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y)$

Así vemos que esta se transforma como un Tensor, por lo tanto es un Tensor:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y)= \Xi^i_{jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y) = \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y) \bigg)- \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Gamma^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y)\bigg) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y))$

Ahora tenemos que para nuestro $y_0$$\phi_0$:

$\Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=\frac{1}{2} g^{il}(\partial_k g_{lk} + \partial_j g_{lk} - \partial_l g_{jk})[\phi_0](\phi_0(y_0))= \frac{1}{2} g^{il}\left(\partial_k g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) + \partial_j g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) - \partial_l g_{jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))\right)=0$

Ahora tomar cualquier $y_0$ y cualquier diffeomorphism $\phi\in Diff(\Omega)$ :

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi(y_0))=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi(y_0)) {\left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)}\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)$

Por la declaración de una de las tareas que siempre se puede encontrar una $\phi_0$ tal forma que:

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=0=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi_0(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi_0(y_0)) {\left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)}\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)$

para cada una de las $y_0\in\Omega$.

Ya que para cualquier diffeomorphism tenemos que

$\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi(y))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi(y))\neq 0$

Vemos que la transformada de la parte, que es invariante bajo cualquier $\phi\in Diff(\Omega)$ es el que se asigna a cero, llegamos a la conclusión de que para todos los de $\Omega$:

$T^i_{jk}[\phi]=\Xi^i_{jk}[\phi]-\Gamma^i_{jk}[\phi]\overset{\forall \phi}{=}0$ $$\Rightarrow \Xi^i_{jk}[\phi]=\Gamma^i_{jk}[\phi]$$

$\blacksquare$