Función continua a resolver utilizando propiedad de valor intermedio.

Question

Una función continua$f:[0,1] \to \mathbb{R}$ alcanza cada uno de sus valores por fin muchas veces y$f(0) \neq f(1)$.

Demuestre que$f$ alcanza al menos uno de sus valores un número impar de veces

Answer 1

Insinuación. Supongamos wlog que$f(0)<f(1)$. Comience por mostrar que en el intervalo$f([0,1])$ hay como máximo un conjunto contable$E$ de los valores máximos / mínimos locales de$f$. Dado que$(f(0),f(1))$ es incontable, existe$y\in (f(0),f(1))\setminus E$. Al usar la propiedad de valor intermedio, muestre que la cardinalidad de$f^{-1}(y)$ es impar.