Subconjunto denso de un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $A$ sea un subespacio denso de un espacio de Hilbert $H$ . Denote $\ell^2$ el espacio de Hilbert de las secuencias (de valor complejo) sumables al cuadrado y denota $\ell^2(H)$ el espacio de Hilbert de $H$ secuencias (norma)-cuadrado-sumables.

Preguntas:

1) ¿Tenemos que $\ell^2(A)$ es un subespacio denso de $\ell^2(H)$ ? (Aquí $\ell^2(A)$ es el subespacio natural de $\ell^2(H)$ con $A$ -secuencias valoradas).

2) ¿Tenemos $\ell^2(A) \simeq \ell^2\otimes A$ (aquí $\otimes$ es el producto tensorial del espacio vectorial (algebraico)). ¿Se extiende este (posible) isomorfismo a las estructuras prehilbertianas?

3) ¿Tenemos $\ell^2(H) = \ell^2\widehat{\otimes} H$ (como producto tensorial del espacio de Hilbert) ?

4) ¿Tenemos $\ell^2\otimes A$ denso en $\ell^2\widehat{\otimes} H$ ?

Answer 1

1) Si $n\geq1$ está claro que el cierre de $\ell^2(A)$ contiene el subespacio de $\ell^2(H)$ de las secuencias que desaparecen de la $n$ a partir de este componente. Entonces contiene el cierre de la unión de estos subespacios, que es $\ell^2(H)$ .

2) No, en general. Si $(a_n)_{n\geq1}$ es una secuencia linealmente independiente de elementos de $A$ tal que está en $\ell^(A)$ entonces no está en el subespacio $\ell^2\otimes A\subseteq\ell^2(A)$ .

3 y 4) Sí. Proceda como en (1) para demostrarlo.