Evaluar

Question

Necesito un poco de ayuda con el Análisis Complejo:

Para evaluar la integral $$\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=3} \frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)}dz$$ Aquí es lo que he intentado:

Por eso, $f(z)=\frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)}$ 3 singularidades, $z_0 = 0$, $z_0= -1+i $ y $z_0=-1-i$. Y todos ellos son interiores a la curva de nivel. $\Rightarrow$ Necesitamos encontrar los residuos en todos los 3 puntos.

$$Res_{z_0=0}(f(z)) = Res_{z_0=0} \left (\frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)} \right)\\=\frac{1}{2}(\pi-1)$$

$$Res_{z_0=-1+i}(f(z)) = Res_{z_0=-1+i} \left (\frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)} \right)\\=-\frac{e^{-\pi}}{4}$$

$$Res_{z_0=-1-i}(f(z)) = Res_{z_0=-1-i} \left (\frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)} \right)\\=-\frac{e^{-\pi}}{4}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=3} \frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+2z+2)}dz = \frac{1}{2 \pi i} \times \left[ 2\pi i \left(\frac{1}{2}(\pi -1) - \frac{e^{-\pi}}{4} - \frac{e^{-\pi}}{4}\right)\right]\\ = \left( \frac{1}{2}(\pi-1)-\frac{e^{-\pi}}{2}\right)\\ = \frac{\pi-1-e^{-\pi}}{2}$$ Pero me dijeron que esto estaba mal. No pude encontrar ningún error por mi trabajo. Puede alguno de ustedes comprobar si mi trabajo es válido? O, si es malo, ¿de qué otra manera se pueden evaluar esto? Cualquier ayuda o comentario se agradece. Alguien puede proporcionar una solución válida (o un enfoque diferente)para evaluar esta integral? Debido a que algunos comentarios dicen que es malo. Pero, algunos dicen que es correcto. Estoy confundido....

Answer 1

Para la comprobación de los residuos...

El polo en $z=0$ es doble, por lo que (en mi opinión) es más fácil encontrar el residuo a través de la expansión de la serie que con la fórmula explícita. Factorizar el denominador, el integrando es $\frac{e^{\pi z}}{z^2(z+1-i)(z+1+i)}$. La serie de $e^{\pi z}$ es sólo $1 + \pi z + \frac{\pi^2 z^2}{2!} + ...$ Los otros factores, a excepción de $\frac{1}{z^2}$ son de la forma $\frac{1}{a + z}$, que tiene la serie representación $\frac{1}{a} - \frac{z}{a^2}+...$, por Lo que el integrando, como un producto de serie, es $\frac{1}{z^2}(1 + \pi z + ...)(\frac{1}{1-i} - \frac{z}{(1-i)^2} + ...)(\frac{1}{1+i} - \frac{z}{(1+i)^2} + ...)$ Ya que estamos buscando para el residuo, el único término que nos importa es $z^{-1}$. Desde $\frac{1}{z^2}$ es el único factor con exponentes negativos, sólo se necesitan los dos primeros términos de cada serie. Encontrar los términos que tendría el fin de $-1$, nos encontramos con el coeficiente a se $\frac{\pi}{(1+i)(1-i)} - \frac{1}{(1-i)^2(1+i)} - \frac{1}{(1+i)^2(1-i)}$. El primer término es $\frac{\pi}{2}$, y el segundo y tercer términos se combinan para $-\frac{1}{2(1+i)} - \frac{1}{2(1-i)} = -\frac{1-i}{4} - \frac{1+i}{4} = -\frac{1}{2}$. Así que el primer residuo es (a menos que también he hecho un terrible error) $\frac{\pi - 1}{2}$, como se encontró.

Ahora, para los próximos dos residuos: ya que estas son simples polos, pueden ser evaluados fácilmente con la fórmula explícita. El segundo residuo debe ser $\frac{e^{\pi z}}{z^2(z+1-i)}$ evaluado en $z = -1 - i$, y la tercera es similar. Enchufar, el segundo de los residuos de la $\frac{e^{\pi (-1 - i)}}{(-1-i)^2(-1-i+1-i)} = \frac{e^{-\pi}e^{-i\pi}}{(2i)(-2i)}$$-\frac{e^{-\pi}}{4}$. La tercera es similar, y también me di cuenta de que también coincide con lo que tienes.

Tal vez los dos hicieron los mismos errores, pero su evaluación se ve bien para mí.

Answer 2

No veo nada malo en tu cálculo.

Pero Maple obtiene $$ \ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4e ^ {\ pi}} $$ así que el último término no está de acuerdo con el tuyo. Pero numéricamente en Maple, la misma integral concuerda con tu respuesta, no con la respuesta simbólica de Maple. Algún tipo de bicho en Maple, supongo. (Maple 2015 build 1097895)