¿Intuición geométrica detrás de la explosión de una cúspide en una curva plana?

Question

Estoy leyendo Hartshorne AG V.3 sobre las transformaciones monoidales y las resoluciones incrustadas. Entiendo un tipo de intuición detrás de la voladura de un punto en una superficie (o más generalmente una subvariedad de una variedad no singular), que es que se reemplaza el punto con el espacio proyectivo de las direcciones normales al punto. Teniendo esto en cuenta, está claro que dos curvas que se encuentran transversalmente en un punto de una superficie $X$ separado en la explosión de $X$ a lo largo del punto de intersección.

Un caso que no tengo muy claro es el de la cúspide ( $y^2=x^3$ en el plano).

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En este caso no es difícil escribir las ecuaciones. Sin embargo, lo que me gustaría saber es si hay algún buen razonamiento geométrico que permita "decir con sólo mirar" que al inflar la cúspide se obtiene una transformación estricta que es tangente al divisor excepcional en un punto. Considerando sólo la primera transformación monoidal anterior, ¿por qué podría ser obvio que la transformada estricta no cruza el divisor excepcional transversalmente?

Answer 1

La ampliación sustituye el origen por la copia de $\mathbb P^1$ que se puede considerar como un pequeño círculo en el origen. Es decir, la ampliación es la misma que $\mathbb A^2$ de origen, sino que tiene todo un $\mathbb P^1$ de puntos extra por encima de ella, que se puede considerar como el registro de las diferentes direcciones en el origen. Cuando se toma la transformada propia de una curva, la porción de la misma que pasó por el origen es reemplazada por la dirección que tenía al pasar por ella.

Con la cúspide para $y^2 - x^3$ La curva entra en el origen horizontalmente y vuelve a salir horizontalmente, y lo hace a una velocidad tal que "sólo toca" el $\mathbb P^1$ en el punto correspondiente a la dirección horizontal.

(Obsérvese que $y^2 - x^5$ se parece mucho a $y^2 - x^3$ pero cuando se amplía sigue siendo singular, por lo que hay un poco de limitación en este tipo de visualización. Creo que funciona mejor para curvas como $y^2 - x^3 - x^2$ que se cruzan transversalmente un par de veces. Allí la fibra de la transformada propia por encima del origen consistirá en las dos direcciones diferentes en las que iba la curva cuando la atravesaba).

Answer 2

Lo he pensado un poco más y lo podéis ver en la siguiente foto. Imagina la familia de curvas nodales con nodo fijo en el origen degenerando en una cúspide: en este caso $y^2=x^2(x+t)$ . En el origen para $t\neq 0$ hay dos direcciones en la curva normal al punto, y si $t$ es muy pequeño, entonces ambos son casi horizontales. Así que cada curva nodal da dos puntos en el divisor excepcional al inflar el plano en el origen, y estos dos puntos se juntan en $t=0$ a un punto de multiplicidad $2$ , que es la segunda imagen de la figura anterior.