Interpolación profinita y p-adic de números de Fibonacci

Question

Sobre el tema de profinite enteros $\hat{\bf Z}$ y números de Fibonacci $F_n$, Lenstra dice (aquí y aquí)

Para cada profinite entero $s$, uno puede de una manera natural definir el $s$ésimo número de Fibonacci $F_s$, que es en sí mismo un profinite entero. Es decir, dado $s$, se puede elegir una secuencia de enteros positivos $n_1, n_2, n_3,\dots$ que tienen más y más inicial dígitos en común con $s$, por lo que se puede decir que $n_i$ converge a$s$$i\to\infty$. Entonces también los números de $F_{n_1}, F_{n_2}, F_{n_3},\dots$ conseguir más y más inicial dígitos en común, y definimos $F_s$ a su "límite" como $i\to\infty$. Esto no depende de la elección de la secuencia de números de $n_i$.

Ahora, $\hat{\bf Z}\cong\prod_p{\bf Z}_p$ es un producto directo de los anillos de $p$-ádico enteros, que ha FToA y CRT tipo de codificado en ella (a través de la descomposición de la subyacente inversa sistemas). Si una secuencia de profinite enteros $(x_p)$ converge, entonces, en particular, cada coordenada converge (nota: estoy utilizando el producto directo de la notación para profinite enteros, en lugar de que el factorial de un número de sistema Lenstra usa). Esto indicaría que los números de Fibonacci se $p$-adically interpolable.

Sin embargo, en $p$-ádico de Interpolación de la Secuencia de Fibonacci, a través de Funciones Hipergeométricas,

Se dice que una secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ de los números racionales es $p$-adically interpolatable si existe una función continua $f:{\bf Z}_p\to{\bf Q}_p$ tal que $f(n)=a_n$ para todos los números enteros no negativos $n$. Dado el conjunto de números enteros no negativos es denso en ${\bf Z}_p$, para una determinada secuencia $\{a_n\}$ no puede haber más de una función, que sólo existen en determinadas fuertes condiciones en $\{a_n\}$. Específicamente, un entero secuencia es $p$-adically interpolatable si y sólo si es puramente periódico modulo $p^M$ para todos los enteros positivos $M$, con cada período de un poder de $p$. Mientras que $\{F_n\}$ es puramente periódico modulo $p$ por cada prime $p$, su período modulo $p$ no es nunca un poder de $p$, lo que significa que la secuencia de Fibonacci en sí mismo nunca puede ser $p$-adically interpolados.

Este dice casi lo contrario. Evidentemente hay agujeros en mi entendimiento. Alguna idea?

Answer 1

Aquí es una de las más elegantes de la construcción de la secuencia de Fibonacci $F : \widehat{\mathbb{Z}} \to \widehat{\mathbb{Z}}$. La idea es que el $n$-ésimo número de Fibonacci es la entrada de $(1,1)$ de la matriz de potencia $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n$. Esto es cierto para $n \in \mathbb{N}$, pero podemos hacer que sea cierto para $n \in \widehat{\mathbb{Z}}$, y también:

La matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ de los rendimientos de un homomorphism de grupos de $\mathbb{Z} \to \mathrm{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$. Puesto que el último es un profinite grupo ($\widehat{\mathbb{Z}}$ ser un profinite anillo), se sigue por la característica universal de la profinite terminación que no hay una única extensión a un continuo homomorphism $\widehat{\mathbb{Z}} \to \mathrm{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$. La entrada $(1,1)$ esto da el mapa deseado $F$.

Para $\mathbb{Z}_p$ esto no funciona desde $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ no es un pro-$p$-grupo.

Answer 2

¿Cómo le interpolar la secuencia de Fibonacci de$\mathbb Z$$\mathbb Z_p$, el uso de la interpolación de la profinite enteros $\hat{\mathbb Z}$? Dado un $p$-ádico entero $n \in \mathbb Z_p$, la manera obvia para definir $F_n \in \mathbb Z_p$ estaría considerando la posibilidad de $n$ como un elemento de $\hat{\mathbb Z}$ a través de la inclusión $\mathbb Z_p \hookrightarrow \prod_p \mathbb Z_p = \hat{\mathbb Z}$, teniendo en $F_n \in \hat{\mathbb Z}$ y proyectándolo hacia abajo a $\mathbb Z_p$. Sin embargo, el mapa resultante $F: \mathbb Z_p \to \mathbb Z_p$ no va a ser una interpolación de la entero de Fibonacci función de $\mathbb Z \to \mathbb Z$ desde la inclusión $\mathbb Z \hookrightarrow \hat{\mathbb Z}$ no es el mismo que el compuesto de inclusión $\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z_p \hookrightarrow \hat{\mathbb Z}$.

Answer 3

La secuencia de Fibonacci no es$p$; es interpolable de manera adictiva, porque generalmente para un primo$p$ y un exponente$n$, no hay un exponente$m$ tal que$a \equiv b \pmod {p^m} \implies F(a) \equiv F(b) \pmod {p^n}$

Sin embargo, es interpolable en$\hat{\Bbb Z}$ porque para cada entero$N$ hay un$M$ tal que$a \equiv b \pmod M \implies F(a) \equiv F(b) \pmod N$.

Por ejemplo, elija$N=2$, el mod de secuencia de fibonacci$2$ es$0,1,1,0,1,1,0,\ldots$ y, por lo tanto, solo depende de$n \pmod 3$, por lo que el$M$ correspondiente es$3$, que por cierto no es una potencia de$2$.

Answer 4

Creo entender mi problema ahora. Aquí fue mi idea original proceso: Vamos a $\alpha\in{\bf Z}_p$, vamos a $n_i\in\bf Z$ convergen a $\alpha$ $\hat{\bf Z}$ (a través de ${\bf Z}_p\hookrightarrow\hat{\bf Z}$), pero de otra manera arbitraria. A continuación, $F_{n_i}$ converge (a decir $f$) $\hat{\bf Z}$ y, por tanto, en ${\bf Z}_p$, y, en particular, $n_i$ converge a$\alpha$${\bf Z}_p$, y por lo $F_\alpha=\pi_p(f)$ está bien definida e independiente de la $n_i$. Solo se considera un subconjunto de la $n_i$ que convergen $p$-adically aunque.

Deje $\eta,\kappa\in\hat{\bf Z}$ ser distinto profinite enteros con igual $p$-ádico coordenadas, $\pi_p(\eta)=\alpha=\pi_p(\kappa)$. A continuación, vamos a $n_i,m_i\in\bf Z$ respectivamente convergen a$\eta$$\kappa$$\hat{\bf Z}$; en particular, estos enteros ambos convergen en ${\bf Z}_p$$\alpha$. Tanto en $F_\eta$ $F_\kappa$ va a existir, pero no hay ninguna garantía de que $\pi_p(F_\eta)=\pi_p(F_\kappa)$, lo que se requiere para tal $p$-ádico de interpolación a estar bien definidos.