Cómo probar que la traza$(ABA^{-1}B^{-1})$ =$3$

Question

Si$A,B$ son dos$3 \times 3$ matrices cuadradas y la traza (A) se define como la suma de todos los elementos diagonales. traza$(ABA^{-1}B^{-1})$ =$3$

Podría verificar fácilmente lo anterior para la matriz de identidad. Pero no podría generalizarlo.

Por favor ayúdenme en este sentido. Gracias.

Answer 1

Contraejemplo: $$\begin{align} A&=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix} & B & = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end pmatrix} \\ A ^ {- 1} & = \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix} & B ^ {- 1} & = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end {pmatrix} \ end {align}$$ da como resultado$$ABA^{-1}B^{-1}= $$\begin{pmatrix}3&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ con traza$4$.

Answer 2

Veamos que$tr(AB) = tr(BA)$, cuando$A,B$ son matrices cuadradas del mismo orden (no estoy tan seguro de otras matrices, aunque creo que esto es cierto incluso en ese caso)

Ahora simplemente reorganizando$tr(ABA^{-1}B^{-1}) = tr(I_{n}) = n$

Ya que en tu pregunta$n=3$, hemos terminado.