Voy a empezar por motivar a la pregunta con un simple escenario para asegurarse de que haya al menos entendido de que el escenario correctamente.
Escenario 1 :
Imaginar una secuencia infinita de números donde $i$ $i^{th}$ elemento de la secuencia. Si puedo asignar un número aleatorio $r_i \in (0,1)$ a cada una de las $i$, y luego preguntar "¿cuáles son las probabilidades de que al menos uno de los $i$ tenemos $r_i = a$ ?" donde $a$ es específica pre-número elegido en $(0,1)$ (es decir $0.5$), creo que estoy en lo correcto al asumir que ese $i$ casi nunca existen porque $\aleph_0 = |\mathbb{N}| < |(0,1)| = \mathfrak{c}$. Es este razonamiento correcto ?
Escenario 2 :
Así que ahora me gustaría considerar otro conjunto infinito de números aleatorios, pero esta vez me gustaría cambiar mi discretos secuencia infinita con una especie de continuo equivalente, que supongo que es algo similar a una función aleatoria. Es decir, para cada número real en $x \in (0,1)$ I asociar un número aleatorio $r_x \in (0,1)$. Ahora vuelvo a la pregunta "¿cuáles son las probabilidades de que para algunos $x$ tenemos $r_x = a$ ?". Aquí realmente no estoy seguro de qué pensar. Es ciertamente posible que el escenario estoy describiendo no puede ser rigurosamente definidas y no hay tal conjunto de $r_x$ puede existir, en cuyo caso te agradecería una explicación de por qué esto es así y cuál es la más cercana posible del escenario. Por el contrario, siéntase libre de forma más rigurosa a definir mi problema.
Michael siempre una solución a un aparentemente relacionados con el problema de que en algún lugar entre el escenario 1 y 2, y así que voy a publicar aquí para ver si alguien puede extender este tipo de pensamiento a los reales :
1) Elegir algún número natural $n$
2) Lista de los naturales de $1$ $n$(vamos a llamar a este conjunto de $\mathbb{N}_n$)
3) Para cada número en $\mathbb{N}_n$ al azar asignar otro número en $\mathbb{N}_n$
Luego podemos ver que la probabilidad de que algún número elegido al azar $a \in \mathbb{N}$ nunca aparece es $(1-1/n)^n$, que se aproxima $1/e$$n\to\infty$. La posibilidad de que no parece, por tanto, los enfoques $1-1/e=0.632$.
Hay alguna forma de extender a todos los reales entre el$0$$1$ ?
Después de cavar un poco, he llegado a pensar que tal vez no puede ser una respuesta a mi pregunta, o si hay probablemente estoy en camino por encima de mi cabeza tratando de encontrar uno. Vamos a definir el problema un poco más de rigor en primer lugar :
1) Considerar a la familia de conjuntos de $S_x$ donde $S_x = (0,1) \forall x \in (0,1)$ (sí, estos son todos lo mismo, ¿por qué estoy pensando en esta familia se hará evidente en el paso 2).
2) Usando el axioma de elección, la construcción de un conjunto de $R$ que contiene uno elegido al azar de los elementos de cada una de las $S_x$. Este conjunto $R$ es no medible.
3) elija un número $a \in (0,1)$, y preguntar cuál es la probabilidad de que $a \in R$ es cierto ?
Y ahora estoy simplemente no está seguro de qué hacer con el hecho de que $R$ es no medible. ¿Mi pregunta sin respuesta ? O que es lo que realmente proporcionan un gran caso de prueba para la comprensión de que no se pueden medir ?
