Como pensar en los anillos cocientes.

Question

Me está costando mucho envolver mi cabeza alrededor de los anillos de cociente que no son algo de la forma$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

¿Es correcto pensar en$\mathbb{Z}[x]/(x-1)$ como el anillo de funciones con coeficiente de enteros con ceros en uno? Entonces este sería el anillo de funciones con soluciones$x=1$

Answer 1

Primero de todo, el anillo $\,R:=\Bbb Z[x]/(x-1)\,$ es un cociente del anillo de polinomios , no funciones.

Usted puede mirar en $\,R\,$ como el anillo de los residuos de polinomios modulo $\,x-1\,$ , en una manera muy parecida a como $\,\Bbb Z/n\Bbb Z\,$ es el anillo de residuos modulo entero $\,n\,$.

Cómo hacer que el elemento en $\,R\,$ look? Así, utilizando el algoritmo de Euclides, la división con residuo de cualquier polinomio entero por $\,x-1\,$ :

$$p(x)\in\Bbb Z[x]\,\,,\,\,p(x)=g(x)(x-1)+r(x)\,\,,\,\,\deg r<1\,\,\,or\,\,\,r(x)=0$$

Así, en el anillo cociente, podemos escribir

$$p(x)+(x-1)=\left[g(x)(x-1)+r(x)\right]+(x-1)=r(x)+(x-1)$$

lo que significa que $\,p(x)=r(x)\pmod{(x-1)}\,$

Pero, por supuesto, $\,\deg r<1\Longleftrightarrow r(x)=$constante o $\,r(x)=0\,$, por lo que ahora no es difícil demostrar que $\,R\cong\Bbb Z\,$ ...

Answer 2

Usted puede pensar de $R/I$, para un ideal $I$$R$, como si es $R$ donde ciertas cosas que no estaban a cero antes de ahora podría ser cero. La 'nueva' las cosas que son iguales a cero son las cosas en el ideal. El funcionamiento es igual que antes, sólo se hace en los representantes. Por esto cociente $I$ distancia.

En más detalle, si miras en la construcción del anillo cociente, entonces verás que la definición es muy simple, y sólo los detalles en la comprobación de que realmente es un anillo que es un poco engorroso. Los elementos en el anillo cociente $R/I$ son todos de la forma$r+I$$r\in R$. La suma y la multiplicación se realiza sobre los representantes: $(r+I)+(s+I)=(r+s)+I$$(r+I)(s+I)=(rs)+I$. Lo importante a recordar es que ahora la igualdad de los elementos en el cociente no es tan evidente. Es decir, $r+I=s+I$ precisamente si $r-s\in I$.

Así, la forma de pensar de el resumen del cociente de la construcción de la $R/I$ es que "es $R$ donde todo en $I$ es forzado a ser $0$". Por supuesto, el teorema de isomorfismo relacionados con esta construcción de kernels y las imágenes, darle otra manera de pensar en la de cocientes.