Este es un ejercicio de Rotman, Una Introducción al Álgebra Homológica, que he estado pensando ahora y luego de un par de días y no he resuelto aún. Me he decidido a preguntar aquí porque me molesta y no tengo amigos también el estudio de esta asignatura (en caso de cualquier uso, soy estudiante de pregrado).
Deje $R$ ser un conmutativa noetherian anillo. Si $A$, $B$ son finitely generadas $R$-módulos, a continuación, $\operatorname{Hom}_R(A,B)$ es un finitely generadas $R$-módulo.
He aquí lo que he pensado hasta ahora (tal vez el problema es que no he estado tratando de aplicar los teoremas útiles...):
Primero de todo, desde $R$ es noetherian, es suficiente para inyectar $\operatorname{Hom}_R(A,B)$ en algunos finitely módulo generado (en noetherian anillos, submódulos de f.g. son f.g.).
Ahora, desde la $R$ es conmutativa (o desde la $R$ es noetherian), un finitely generadas $R$-módulo es el cociente de $R^n$ algunos $n$. A continuación, vamos a escribir $A\simeq \frac{R^n}{I}$$B\simeq \frac{R^m}{J}$. Ahora tenemos:
$\operatorname{Hom}_R(A,B)\simeq \operatorname{Hom}_R\left(\frac{R^n}{I},\frac{R^m}{J}\right)$.
Si yo tuviera $\operatorname{Hom}_R\left(\frac{R^n}{I},\frac{R^m}{J}\right) \hookrightarrow \operatorname{Hom}_R(R^n, R^m)$ (esto es lo que tiendo a pensar que es la dirección equivocada, pero una pregunta interesante-el aumento de la ruta, sin embargo), entonces sería más desde $\operatorname{Hom}_R(R^n, R^m)\simeq R^{nm}$ que es finitely generado.
Entonces me pregunto: ¿se puede ver $\frac{R^n}{I}$ como un submódulo de $R^n$? Porque si yo podría hacer lo mismo para $R^m$ y pasando a la hom, entonces sería más. Ahora, esto sería cierto si la secuencia de $$0\to I\hookrightarrow R^n\to \frac{R^n}{I} \to 0$$ split. Pero esto (por supuesto) que no siempre sucede. Pero si de alguna manera yo tenía el tercer módulo proyectivo, o el primero en ser inyectiva, entonces que iba a suceder.
Pero, ¿por qué, por ejemplo, ser $\frac{R^n}{I}$ ser proyectiva?
Y aquí es donde me quedé atrapado. Lo siento si esto es demasiado detallada, pero recuerdo haber leído que siempre es bueno, al preguntar por un libro de texto de la pregunta, para añadir que lo que has pensado hasta ese momento. También, incluso si mis pensamientos no conducen a la solución, me gustaría saber si están en lo correcto!
