Restricción del operador de Laplace Beltrami

Question

Dada la expresión del operador Laplace-Beltrami$\Delta M$ en una variedad Riemannian$M$, ¿existe algún método para determinar la expresión del operador Laplace-Beltrami$\Delta N$ donde$N$ es una sub-matriz de$M$. De hecho, estoy interesado en$N=S(y,r)=(x\in M \mbox{ s.t. } d(x,y)=r)$, donde$y\in M$ y$r$ es constante. Gracias Riadh

Answer 1

En general, el$N$ en el que está interesado no será un sub-catálogo de$M$ (por favor busque puntos conjugados). Sin embargo, que yo sepa, serán submanifolds para casi todos los$r$. Mientras estés dentro del radio de inyectividad, puedes intentar usar coordenadas normales y tener una expresión del laplaciano en coordenadas polares. Eso te da exactamente lo que estás buscando.