Me gustaría calcular $ \zeta_ { \mathbb {Q}[i]}(-1)$ - a Función zeta de dedekind . Imitando el cálculo para $ \zeta (-1)$ podemos observar las siguientes divergencias:
$$ \frac {1}{4} \sum_ { (m,n) \neq (0,0)} \sqrt {m^2 + n^2} = 1+ \sqrt {2}+2 + 2 \sqrt {5} + \sqrt {8} + \dots $$
y me gustaría dar a la suma divergente infinita un valor finito en la misma línea que estas respuestas:
En particular hay El teorema de Abel que voy a usar un poco mal. Si $ \sum a_n$ converge entonces:
$$ \lim_ {x \to 1^{-}} \sum a_n x^n = \sum a_n $$
que es una declaración sobre continuidad de la serie infinita en $x$ . Tratando de hacer que funcione aquí.
$$ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} \sqrt {m^2 + n^2} \;x^{ \sqrt {m^2 + n^2}} = \frac {d}{dx} \Bigg [ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} x^{ \sqrt {m^2 + n^2}} \Bigg ]$$
Esto no es tan útil ya que ahora tengo una serie de Puisieux (lo que en la tierra es $x^ \sqrt {2}$ ?) y no hay una forma cerrada. ¿Qué pasa con:
$$ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} \sqrt {m^2 + n^2} \;x^{m+n} = \frac {d}{dx} \bigg [ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} x^{m+n} \bigg ]$$ Esto podría converger siempre y cuando tengamos una estimación de la suma (podría ser una estrategia separada): $$ \sum_ {m+n = N} \sqrt {m^2 + n^2} $$ tal vez regularización de la función zeta es nuestra única opción. La función Dedekind tiene una transformación de Mellin
$$ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} \sqrt {m^2 + n^2} \;e^{t \sqrt {m^2 + n^2}} = \frac {d}{dt} \Bigg [ \sum_ {(m,n) \neq (0,0)} e^{t \sqrt {m^2 + n^2}} \Bigg ]$$
similar a lo que he encontrado. Así que la regularización zeta y la regularización Abel son más o menos lo mismo.
Nota Como lo he escrito $ \sum \sqrt {m^2 + n^2} = \zeta_ { \mathbb {Q}(i)}(- \frac {1}{2})$ que imagino que no debería alcanzar ningún valor especial :-/
