Primero . Sí, es posible que las curvas de la sección de Poincare se crucen. (Supongo que te refieres a algo general). Recuerda que la sección de Poincare es una proyección 2D de una sección 3D de un espacio de fase 4D. La dinámica regular, no caótica, corresponde al enrollamiento de un $T_2$ toro incrustado en este espacio 4D. Las secciones de dicho toro podrían ser el par de curvas cerradas en el hiperplano 3D. La proyección de este hiperplano en el espacio 2D podría producir intersecciones. Además, la sección de Poincare podría incluir sólo puntos con una dirección determinada de un cruce de hipersuperficies, entonces el número de curvas resultantes se reduciría. Probablemente, incluso en ese caso, sigue existiendo la posibilidad de que las curvas se crucen en la sección de Poincare, aunque éstas requerirían regímenes altamente no lineales (posiblemente después de al menos una bifurcación).
Segundo . ¿Por qué se espera la simetría con respecto al signo del momento? El Hamiltoniano del péndulo doble contiene el término proporcional al producto de ambos momentos $l_\alpha l_\beta$ . Por lo tanto el Hamiltoniano y el toro en el espacio de fase 4D son invariantes sólo con respecto al cambio de signo de ambos momentos, pero no con respecto al cambio de signo de un solo momento. Después de hacer la sección transversal y proyectarla en el plano 2D, no cabe esperar ninguna simetría especular con respecto al signo del momento en la sección de Poincare resultante.
Adición Tras la discusión en los comentarios, entiendo que la única cuestión no resuelta es el conjunto de datos iniciales que genera la figura del libro. En el libro la figura va acompañada del comentario:
Para producir la figura 11.4 y todas las secciones posteriores de Poincare, las condiciones iniciales son variadas. La energía total tiene el valor $E = H(\alpha(0), 0, -\alpha(0), 0)$ .
Por lo tanto, todas esas curvas corresponden a diferentes secciones que surgen de ICs variados con la energía fija $E_0$ . Aquí está mi intento de reproducir la figura:
![Poincare sections]()
Los distintos colores corresponden a una sección de Poincare individual definida por su propio punto inicial. El punto se elige de manera que: $$ \alpha=0, \quad \beta=0, \quad \dot{\alpha}>0, \quad H(0,l_\alpha,0,l_\beta)=E_0. $$ El valor de $l_\beta$ se elige de manera que las curvas estén uniformemente espaciadas entre dos puntos límite correspondientes a los modos normales de oscilación. Las dos últimas condiciones y conocidas $l_\beta$ nos permiten calcular de forma inequívoca $l_\alpha$ .
Por último, la curva límite está definida por las ecuaciones: $$ \alpha=0, \quad \dot{\alpha}=0, \quad H(0,l_\alpha,0,l_\beta)=E_0. $$
El código de la imagen se basa en la pregunta enlazada de Mathematica SE y puede verse aquí .
