Como TrostAft señaló, la formulación del problema es un poco confuso. No es totalmente trivial que solo una de las funciones puede cumplir con la condición, por lo que no es claro que sólo hay un valor posible para $f(2001)$. Por lo que pedir como si de un único valor es extraño.
Dicho esto, es bastante fácil encontrar una función que satisface (como lo hizo), así que la pregunta sería si usted asume que "Desde que se solicita un valor, sólo puede ser un valor, por lo que debe ser de 2001." Así que vamos a hacer el trabajo completo y encontrar todos los valores, que (como es de esperar) trata de encontrar todas las funciones que satisfacen las condiciones.
A continuación, utilice la siguiente idea, que es, en cierto sentido, lo que TrostAft escribió:
Para cualquier $n\ge 1$, considere la posibilidad de la $n+1$ valores de la función de $f(n), f(n+1),\ldots,f(2n-1),f(2n)$. Sabemos $f(n) < f(n+1) <\ldots < f(2n-1) < f(2n) = f(n) + n$ a partir de la primera y la segunda condiciones.
Así que los $n+1$ valores de la función (enteros positivos) provienen de un conjunto de exactamente $n+1$ valores ($f(n),f(n)+1,\ldots,f(n)+n$), por lo que deben ser exactamente los intergers, en ese orden: $f(n+1)=f(n)+1, f(n+2)=f(n)+2, \ldots, f(2n-1)=f(n)+n-1, f(2n)=f(n)+n$.
Así, para cada una de las $n$ obtenemos $f(n+1)=f(n)+1$. En otras palabras, cualquier posible $f$ debe ser de la forma $f(n)=n+c$, para alguna constante c.
Ahora necesitamos usar ese extraño tercera condición para encontrar que los valores de $c$ son posibles. Es fácil ver que esto sólo es posible si $c=0$.
De lo contrario, para cada uno de los prime $p > c$, $p-c$ también sería un primer (debido a $f(p-c)=p$ y la tercera condición), y que imposible, ya que los espacios entre los números primos pueden ser arbitrariamente alta (ninguna de las $(k-1)$ números de $k!+2, k!+3,\ldots,k!+k$ es primo).
Tan sólo $c=0$ es posible y $f(n)=n$ es la única función de la satisfacción de las 3 condiciones.
