Proceso estocástico vs alto caos dimensional en modelos.

Question

Estoy tratando de averiguar cuáles son los fundamentos teóricos y prácticos, implicaciones y limitaciones, cuando un alto dimensiones caótico proceso es modelado como un proceso aleatorio. Entiendo lo bajo-dimensional caos (callin' LD caos a partir de ahora) es diferente de un proceso estocástico. Sin embargo, yo estoy claro en las trampas de la aproximación de alta dimensión del caos (HD caos) como un proceso aleatorio, en términos de la estocástico lineal de ecuaciones en derivadas parciales.

En mi campo de tierra de modelado de sistemas, sistemas de clima o en el mar de mesoescala turbulencias son (creo) buenos ejemplos de HD caos. Algunos modeladores uso de procesos estocásticos para representar sin resolver de la turbulencia. Por ejemplo, un ruidoso ecuación de difusión ha sido estudiado para describir la estadística de la evolución de la superficie del océano campo de temperatura $T(x,t)$ $$\frac{dT(x,t)}{dt}=\kappa\nabla^2 T(x,t)+\eta(x,t)$$ $$<\eta>=0$$ $$<\eta(x,y)\eta(x',t')>\propto \delta(x-x')\delta(t-t')$$ donde $\eta$ es un ruido blanco que representa a tiempo turbulento obligando a los de la atmósfera. O del mismo modo que usted podría tener un conservador ruido término que aparece en la temperatura de flujo.

Si el proceso que $\eta$ representa es realmente LD caos, puedo ver cómo esto podría ser un mal modelo LD dinámica caótica se rigen por un atractor, que definitivamente no es al azar.

Mi pregunta es entonces, si $\eta$ es un proceso estocástico que es la aproximación de HD caos, es esta aproximación se va a llevar a problemas o advertencias? Sé que usted también podría hacer cosas como cambiar la función de autocorrelación (tal vez a la caries como una ley de potencia), pero es que realmente suficiente? Es en HD que en realidad el caos distinguible de ruido? No HD caos tienen algunos complicado atractor? Si HD caos es representado como un proceso aleatorio, puede ser demostrado que esto afecta a las estadísticas de la solución?

Answer 1

TL;DR: Cada suficientemente complejo deterministicity es indistinguible de la estocasticidad.

La aleatoriedad en la modelización se utiliza casi siempre como una aproximación de un proceso complejo que es demasiado complicado o tedioso para un modelo, o sobre las que no tiene suficiente información. (La principal excepción es cuando bajamos al nivel cuántico, donde deterministicity no puede ser dado.)

También considerar el siguiente:

• No son simples sistemas caóticos (por ejemplo, la Zaslavsky mapa) que generan las series de tiempo que se aproximan a las propiedades fundamentales de blanco uniforme de ruido (uniforme de la amplitud de la distribución, al instante en descomposición función de autocorrelación).

• Cada pseudo generador de números aleatorios no es nada sino un complicado caótico mapa, si así lo desea. (Estrictamente hablando, no es incluso caótica, pero periódica con una muy alta periodo de tiempo; también sólo tiene estados discretos. Sin embargo, esto también se aplica a cualquier digital de la realización de un proceso caótico.)

• Cada determinista tipo de modelo es sólo un caso especial de un modelo estocástico. SDEs contienen Odas como un caso especial; las cadenas de Markov contienen mapas sencillos como un caso especial; y así sucesivamente.

Para abordar sus preguntas de manera individual:

• Mi pregunta es entonces, si $η$ es un proceso estocástico que es la aproximación de HD caos, es esta aproximación se va a llevar a problemas o advertencias?

  Por supuesto, si usted puede reemplazar su proceso estocástico por más de un intrincado modelo de lo que realmente está pasando, esto le da una mejor aproximación de la realidad, pero más allá de que yo no soy consciente de cualquier problema causado por el uso de un adecuado proceso estocástico.

• Es en HD que en realidad el caos distinguible de ruido?

  Si usted cava lo suficientemente profundo y saber donde buscar: seguro. Pero si el ruido es elegido apropiadamente, esto no debería afectar a la calidad de su modelo.

• No HD caos tienen algunos complicado atractor?

  A menos que sea transitoria caos, sí. Pero, ¿por qué esto afecte su situación?

• Si HD caos es representado como un proceso aleatorio, puede ser demostrado que esto afecta a las estadísticas de la solución?

  Todo punto de un modelo estocástico es reflejar las propiedades estadísticas de algunos de los del mundo real del proceso. Si estadísticos pertinentes propiedades son afectadas por el uso de un proceso aleatorio, este último no es elegido bastante bien. Como ya se ha mencionado, si usted cava lo suficientemente profundo, siempre se puede encontrar algunos estadísticos de la propiedad, que es fundamentalmente diferente.