Muestre lo siguiente incluyendo triple declaración

Question

Como me muestro

\begin{equation*} \sum \limits_{n=0}^{\infty} z^n=\prod \limits_{m=0}^{\infty}(1+ z^{2^m}) = (1-z)^{-1}? \end{ecuación*}

El lado izquierdo es obvio porque es la serie geométrica, pero no pude relacionar el medio.

Answer 1

Debe ser $$\prod_{m\geq 0}(1+z^{2^m}),$ $ desde:$$ (1-z)(1+z)(1+z^2)\cdot\ldots\cdot(1+z^{2^N}) = 1-z^{2^{N+1}}.

Answer 2

Insinuación. Tenemos $$ 1 + z ^ {2 ^ m} = \ frac {1-z ^ {2 ^ {m +1}}} {1-z ^ {2 ^ m}}, \ quad z \ neq1, $ Entonces obtienes un producto telescópico.

Answer 3

Es fácil mostrar por inducción que

PS

Caso base: $$\prod_{k=0}^N(1+z^{2^k})=\sum_{k=0}^{2^{N+1}-1}z^k$

PS

Luego, asuma que hay un número$N=1$ para el cual se mantiene la igualdad. Ahora examina el producto

$$\begin{align} \prod_{k=0}^{N+1}(1+z^{2^k})&=\left(1+z^{2^{N+1}}\right)\prod_{k=0}^{N}(1+z^{2^k})\\\\ &=\left(1+z^{2^{N+1}}\right)\sum_{k=0}^{2^{N+1}-1}z^k\\\\ &=\sum_{k=0}^{2^{N+1}-1}z^k+\sum_{k=2^{N+1}}^{2^{N+1}+2^{N+1}-1}z^k\\\\ &=\sum_{k=0}^{2^{N+1}-1}z^k+\sum_{k=2^{N+1}}^{2^{N+2}-1}z^k\\\\ &=\sum_{k=0}^{2^{N+2}-1}z^k \end {align}$$

Lo que completa la prueba.

Ahora, como tenemos para$$\prod_{k=0}^1(1+z^{2^k})=(1+z)(1+z^2)=1+z+z^2+z^3=\sum_{k=0}^{3}z^k$,$N$, entonces,

$$\begin{align} \lim_{N\to \infty}\prod_{k=0}^N(1+z^{2^k})&=\lim_{N\to \infty}\sum_{k=0}^{2^{N+1}-1}z^k\\\\ &=\lim_{N\to \infty}\frac{1-z^{2^{N+1}}}{1-z}\\\\ &=\frac{1}{1-z} \end {align}$$

y hemos terminado!

Answer 4

La serie de productos parciales comienza como: $$1+x$$ $$(1+x)+(x^2+x^3)$$ $$(1+x+x^2+x^3)+(x^4+x^5+x^6+x^7)$$ $$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^7)+(x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15})$$ y así sucesivamente. Yo entre paréntesis para enfatizar el punto siguiente:

Cuando multiplicamos cada término por $(1+x^{2^m})$, mantenemos los términos anteriores (el primer conjunto de paréntesis), y añadir un desplazado conjunto de términos (el segundo conjunto de paréntesis).

Para formalizar lo que está pasando, uno puede darse cuenta de que es fácil probar la siguiente forma inductiva: $$\prod_{m=0}^{k-1}(1+x^{2^m})=\sum_{m=0}^{2^k-1}x^m$$ lo que claramente implica que las series infinitas son iguales también.

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De forma más intuitiva, observe que cuando se expanda el producto $$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)\cdots$$ podemos, en cada binomio, elija si va a "tomar" la $1$ o de la $x^{2^m}$. A continuación, tomamos el producto a través de todas nuestras decisiones y tomar la suma sobre todas las posibles opciones - esta es la simple expresión de la habitual distribución de $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$ en un nuevo formulario (ver cómo podemos elegir cada par de $a$ o $b$ con $c$ o $d$?). Esto nos dice que cada término de la expansión es de la forma $x^{2^{a}+2^b+2^c+\ldots}$ donde podemos elegir libremente $a,b,c,\ldots$ a las posiciones donde se toma el $x^{2^m}$ plazo. Sin embargo, al darse cuenta que básicamente dice que tenemos un $x^n$ plazo para todos los binarios de expansión de $n$, es claro que tenemos exactamente una $x^n$ plazo para cada $n$.