¿Cómo calcular las expectativas condicionales con respecto a un campo sigma?

Question

Ejemplo: Lanza una moneda dos veces. Dejar $\mathbb P$ sea una medida de probabilidad, supongamos que $\mathbb P(HH)=p^2,\mathbb P(HT)=\mathbb P(TH)=p(1-p), \mathbb P(TT)=(1-p)^2.$ Me gustaría responder a las siguientes preguntas:

1. Definir $Y$ para ser el número de cabezas en el ejemplo. Deduzca el $\sigma$ -campo generado por $Y$ .

2. Encuentra la expectativa de la variable aleatoria $Y$ del ejercicio anterior ejercicio, y también la expectativa condicional de $Y$ dado $\mathcal F_{1}$ s.t $\mathcal F_{1}=\{\varnothing,\{HH,HT\},\{TH,TT\},\Omega\}$ . Compruebe que en este caso $E[E[Y|\mathcal F_{1}]]=E[Y]$ .

Mis respuestas: el espacio muestral es $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$ . Creo que la respuesta a la 1 es $Y=\{\{TT\},\{HT,TH\},\{HH\}\}$ El $\sigma$ -campo generado por $Y$ es $\mathcal F(Y)=\{\varnothing,\{TT\},\{HH,HT,TH\},\{HT,TH\},\{HH,TT\},\{HH\},\{HT,TH,TT\},\Omega\}.$

Pero para la pregunta 2 sólo pude obtener $E(Y)=2p$ . ¿Cómo se calcula la expectativa condicional?

Answer 1

El definición formal de la expectativa condicional es que $E[Y|\mathcal{F}_1]$ es cualquier variable aleatoria medible con respecto a $\mathcal{F}_1$ teniendo la propiedad de que

$$\int_F E[Y|\mathcal{F}_1](\omega)d\mathbb{P}(\omega) = \int_F Y(\omega) d\mathbb{P}(\omega)$$

para todos $\mathcal{F}_1$ -conjuntos medibles $F$ .

En este caso, esta definición nos invita a inspeccionar todos los subconjuntos medibles $F$ con respecto a $\mathcal{F}_1$ que ya has calculado en el primer problema. El truco consiste en empezar por lo más pequeño, lo más básico $\mathcal{F}_1$ -conjuntos medibles (aparte del conjunto vacío), que son $\{HH, HT\}$ y $\{TH, TT\}$ . Aunque todavía no sabemos $E[Y|\mathcal{F}_1]$ podemos utilizar el lado derecho para calcular sus integrales. Porque ninguno de estos eventos puede descomponerse (de forma no trivial) en otros más pequeños, la expectativa condicional debe tener un valor constante en cada una de ellas. Por ejemplo, escribir $$E[Y|\mathcal{F}_1](HH) =E[Y|\mathcal{F}_1](HT) = z,$$

la definición da

$$\eqalign{ zp &= zp^2 + zp(1-p) \\ &=E[Y|\mathcal{F}_1](HH) \mathbb{P}(HH) +E[Y|\mathcal{F}_1](HT) \mathbb{P}(HT)\\ &=\int_{\{HH, HT\}} E[Y|\mathcal{F}_1](\omega)d\mathbb{P}(\omega)\\ &= \int_{\{HH, HT\}} Y(\omega) d\mathbb{P}(\omega)\\ &= Y(HH)\mathbb{P}(HH) + Y(HT)\mathbb{P}(HT) \\ &= 2p^2 + 1p(1-p)= p+p^2, }$$

de lo que se deduce

$$z = \frac{p+p^2}{p} = 1 + p.$$

Un cálculo similar para $F = \{TH, TT\}$ (¡hazlo!) establece que

$$E[Y|\mathcal{F}_1](TH) =E[Y|\mathcal{F}_1](TT) = p.$$

Hay una simple intuición para apoyar estos cálculos abstractos: $\mathcal{F}_1$ registra la información disponible después de lanzar la moneda la primera vez. Si sale cara, los posibles eventos (¡que sólo han ocurrido parcialmente!) son $HH$ y $HT$ . Ya tenemos una cabeza y hay una posibilidad $p$ que la segunda vuelta será una cabeza. Por lo tanto, en esta etapa, nuestra expectativa de $Y$ es igual a $1$ (por lo que ha pasado) más $1\times p$ (por lo que podría todavía), sumando a $1+p$ . Si por el contrario el primer lanzamiento es cruz, no hemos visto aún ninguna cara, pero todavía hay una posibilidad de $p$ de ver una cabeza en la segunda vuelta: la expectativa de $Y$ es sólo $0 + 1\times p = p$ en ese caso.

Como comprobación, podemos calcular

$$\eqalign{ E[E[Y|\mathcal{F}_1]] &= \int_\Omega E[Y|\mathcal{F}_1](\omega)d\mathbb{P}(\omega) \\ &= (1+p)\mathbb{P}(E[Y|\mathcal{F}_1]=1+p) + (p)\mathbb{P}(E[Y|\mathcal{F}_1]=p)\\ & = (1+p)\mathbb{P}(\{HH, HT\}) + (p) \mathbb{P}(\{TH, TT\})\\ &= (1+p)(p^2 + p(1-p)) + p((1-p)p + (1-p)^2)\\ &= 2p, }$$

exactamente como antes.

Debe quedar claro que esto no es más que una forma laboriosa de expresar la idea de que existe una $p$ azar al principio de las cabezas--que tiene una expectativa condicional de $1+p$ -- y un $1-p$ probabilidad de cola--que tiene una expectativa condicional de $p$ El objetivo de este ejercicio es basarse en esa intuición para desarrollar una comprensión que se mantendrá cuando se trate de un problema de seguridad. El objetivo de este ejercicio es basarse en esa intuición para desarrollar una comprensión que se mantenga cuando estas álgebras sigma se vuelvan mucho, mucho más complicadas.

Answer 2

Tomar el espacio de la muestra $\Omega$ como el producto cartesiano $\{H,T\}\times\{H,T\}$ , con campo sigma $\mathscr{F}$ igual a la clase de todos los subconjuntos de $\Omega$ . El campo sigma generado por $Y$ (indicada por $\sigma(Y)$ ) es el subcampo más pequeño de $\mathscr{F}$ en el que $Y$ es medible. Dado que $Y\in\{0,1,2\}$ las imágenes inversas $$ Y^{-1}(\{0\}) = \{(T,T)\}\, , \quad Y^{-1}(\{1\}) = \{(H,T),(T,H)\}\, , \quad \quad Y^{-1}(\{2\}) = \{(H,H)\} \, , $$ demostrar que $$ \sigma(Y)=\sigma\left\{\{(T,T)\}, \{(H,T),(T,H)\}, \{(H,H)\}\right\} = \left\{\emptyset,\{(T,T)\}, \{(H,T),(T,H)\}, \{(H,H)\},\{(H,T),(T,H),(H,H)\},\{(T,T),(H,H)\},\{(T,T),(H,T),(T,H)\},\Omega\right\} \, . $$ Definir $$ \mathscr{G}=\{\emptyset,\{(H,H),(H,T)\},\{(T,T),(T,H)\},\Omega\}\subset\mathscr{F} \, . $$

La expectativa condicional $Z=\mathrm{E}[Y\mid \mathscr{G}]$ es un $\mathscr{G}$ -variable aleatoria medible que satisface $$ \mathrm{E}[Y I_A]=\mathrm{E}[Z I_A] \, , \qquad\qquad (*) $$ por cada $A\in\mathscr{G}$ . El hecho de que $Z$ es $\mathscr{G}$ -medible implica que es constante en los átomos de $\mathscr{G}$ (esta es la idea crucial). Dejemos que $$ Z(H,H) = Z(H,T) = a, \quad Z(T,T) = Z(T,H) = b \, . $$ Tomando $A=\{(H,H),(H,T)\}$ , relación $(*)$ produce $$ 2 \cdot p^2 + 1 \cdot p(1-p) = a \cdot p^2 + a \cdot p(1-p) \, , $$ lo que implica que $a=1+p$ . Del mismo modo, encontramos $b=p$ .

Finalmente, $$ \mathrm{E}[Y]= 1 \cdot 2 p(1-p) + 2\cdot p^2 = 2p \, , $$ y $$ \mathrm{E}[Z] = (1+p) \cdot (p^2 + p(1-p)) + p \cdot ((1-p)^2 + p(1-p)) = 2p \, , $$ como "esperado".

P.D. ¿Puedo sugerir un hermoso ejercicio relacionado? Deja que $\Omega=[0,1]$ , $\mathscr{F}$ sean los subconjuntos de Borel de $\Omega$ y $P$ sea la medida de Lebesgue. Sea $\mathscr{G}$ sea el subcampo sigma de $\mathscr{F}$ generado por la partición $$\{[0,1/2],(1/2,1]\}\, . $$ Dejemos que $X$ sea el mapa de identidad ( $X(\omega)=\omega$ ). Traza la gráfica de $\mathrm{E}[X\mid\mathscr{G}]$ .