Mostrar que $\sum_{cyc} J(x,J(y,z))=0$.

Question

Deje $x,y,z$ funciones de $(u,v)$ $J$ ser la matriz Jacobiana.

Mostrar que $\sum_{cyc} J(x,J(y,z))=0$.

He ampliado la cosa y se dio cuenta de que el primer término de la suma es $x_u(J(y,z_v)+J(y_v,z))-x_v (J(y,z_u)+J(y_u,z))$, pero no sé cómo llevar a cabo a continuación. Además, sospecho que esto tiene algo que ver con la identidad de jacobi, pero no sé que están relacionados.

Gracias.

Answer 1

Yo no entiende la notación (¿cuál es la Jacoby matriz de 2 funciones?). En cualquier caso, si

$$J(x,y):=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} $$

y $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, a continuación, la instrucción es la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson de funciones en $\mathbb R^2$, es decir,

$$J(x,y):=\{x,y\}. $$