Demostrando que la cardinalidad de un conjunto es aún

Question

Deje $E$ a un y $f:E\to E$ ser una función tal que $f\circ f=Id$.

Deje $A=\{x\in E, f(x)\neq x\}$.

Supongamos que $A$ es finito.

Demostrar que la cardinalidad de a $A$ es incluso.

Mi idea es volver a escribir $A$ como distinto de la unión de conjuntos, incluso con cardinalidad, pero no he tenido éxito hasta el momento.

Me di cuenta de que $f$ actúa como una permutación de los elementos de la $A$.

¿Qué debo hacer a continuación ?

Answer 1

Para cada una de las $a\in A$ deje $S_a=\{a,f(a)\}$.

1) Muestran que $|S_a|=2$ todos los $a\in A$.

2) Muestran que el $S_a\cap S_b\ne \emptyset$ implica $S_a=S_b$, para todos los $a,b\in A$.

3) Contar el número de elementos en $A=\bigcup_{a\in A}S_a$.

En un poco más sofisticado del lenguaje, hay una acción de $\mathbb Z_2$ $A$ aplicación $f$. Las órbitas son las $S_a$. Por definición, todos los stablizers son triviales, y por lo tanto todas las órbitas tienen el tamaño de $|\mathbb Z_2|=2$. El conjunto total $A$ es distinto de la unión de las órbitas, y por lo tanto aún.

Answer 2

$f|_A:A \longrightarrow A$ permutes todos los elementos de a $A$ y no tiene puntos fijos y $f^2 = id_A$.

Quiero demostrar que si $S\subseteq A$ $f$ permutes los elementos de $S$, entonces la cardinalidad de a $S$ es incluso. Tomando $S=A$ obtenemos la tesis.

Yo trabajo por la contradicción. Supongamos que existe $S \subseteq A$ tal que $f$ permutes los puntos de $S$ $S$ tiene cardinalidad impar. A continuación, se puede considerar como un conjunto con un mínimo de (impar) de cardinalidad. Claramente, ya que la cardinalidad de a $S$ es impar, tenemos $S \neq \emptyset$.

Pero ahora, elija $x \in S$. A continuación, $S'=S \setminus \{ x, f(x)\}$ tiene cardinalidad impar y $f$ permutes todos los elementos de a $S'$, contradiciendo la minimality de $S$.