Integral de la $\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}$

Question

¿Cómo se puede calcular $$\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{1+x^4}}\mathrm dx?$$ Pensé de expansión de la serie, pero la suma es demasiado complicado. Cualquier ayuda apreciada

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$ \bbx{\mbox{Nota que}\quad \int_{1}^{\infty}{\dd x \\raíz{1 + x^{4}}} = {1 \over 2}\int_{0}^{\infty}{\dd x \\raíz{1 + x^{4}}}} $$ A continuación, \begin{align} \int_{1}^{\infty}{\dd x \over \root{1 + x^{4}}} & = {1 \over 8}\int_{0}^{\infty}{x^{-3/4} \over \root{1 + x}}\,\dd x = {1 \over 8}\int_{1}^{\infty}{\pars{x - 1}^{-3/4} \over \root{x}}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over 8}\int_{1}^{0}{\pars{1/x - 1}^{-3/4} \over x^{-1/2}}\,\pars{-\,{\dd x \over x^{2}}} = {1 \over 8}\int_{0}^{1}x^{-3/4}\pars{1 - x}^{-3/4}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over 8}\,{\Gamma\pars{1/4}\Gamma\pars{1/4} \over \Gamma\pars{1/2}} = \bbx{\Gamma^{2}\pars{1/4} \over 8\root{\pi}} \approx 0.9270 \end{align}

Answer 2

Como se señaló, una integral elíptica. $$ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{1+x^4}}dx = \frac{1}{2}\;\mathrm K\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) $$ Para la integral elíptica K ver https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Complete_elliptic_integral_of_the_first_kind

Nota, en Wolfram notación, escribir $K(1/2)$ en lugar de $K(1/\sqrt{2})$.

agregó
OK, probar o refutar: esta integral converge. Que es mucho más fácil la pregunta de evaluar la integral. Usted puede pensar en una buena comparación para hacer para que .... ¡pruébalo!

Answer 3

Unirse a GEdgar y Félix Marín respuestas, tenemos que $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}$ es simultáneamente relacionados con la integral elíptica completa de primera especie y a la lemniscate constante a través de la Beta y $\Gamma$ funciones. Ya que completa las integrales elípticas de primera especie puede ser evaluado de manera eficiente a través de la AGM significa que tenemos:

$$ \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} = \frac{\pi}{4\,\text{AGM}\left(1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$$ es decir, una explícita y eficiente algoritmo de cómputo, que conduce a la precisión de doble obligado $$ \frac{\pi}{4}2^{1/4}\geq \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}\geq \frac{\pi}{2+\sqrt{2}}.$$

Ver también esta respuesta donde la misma se realiza por $\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)$.