¿Volumen simple en función del radio de la esfera inscrita?

Question

Es bien sabido que para el área de un triángulo $A$ tenemos $$ A=r\cdot s,$$ donde $s$ es el semiperímetro, y $r$ es el radio del círculo inscrito.

¿Existe un análogo para el caso de las dimensiones superiores? En otras palabras, ¿puedo expresar el volumen de un $d$ -¿en términos del radio de su esfera inscrita y del volumen de su frontera? Si existe tal fórmula, ¿cuáles son las referencias?

Answer 1

Lo mismo ocurre, que en $\mathbb{R}^n$ , $A = r \frac {V_b}{n}$ , donde $A$ es el volumen de su simplex, y $V_b$ es el volumen de su frontera.

Para ver por qué esto funciona, basta con mostrar que un simplex con base de volumen $B$ y la altura $r$ tiene volumen $ r \frac {B}{n}$ y luego sumar sobre todas las caras.

Una pista: La constante $\frac {1}{n}$ viene de $\int x^{n-1}\, dx = \frac {x^n}{n}$ .