$\int \sqrt{1+\sin ^2 x} dx$ una integral elíptica?

Question

Parece ser una integral elíptica de segunda especie, pero cuando se $k=i$? Esto va por la definición que $E(\theta,k)=\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2 \sin^2x}dx$. Eso parece un poco apagado.

O esto no es una debido a que el carácter indefinido de la integral?

Answer 1

Es $\displaystyle\int\sqrt{1+\sin^2x}~dx~$ una integral elíptica?

Sí, lo es. De hecho, esa es la forma elíptica de las integrales llegó a ser, tratando de calcular la longitud de arco de la función seno o coseno, que es precisamente lo que han hecho aquí.

Pero cuando $k=i$? Eso parece un poco apagado.

No, no es así? Pero ¿por qué es que un shock para usted? :-) Incluso las funciones trigonométricas se pueden escribir como exponencial y/o logarítmica de las expresiones que contienen imaginario argumentos, así que ¿por qué sería diferente?

Answer 2

Considere la integral elíptica de segunda especie $E(\phi,m):=\int\limits _0^\theta \sqrt{1-m \sin^2 x}\,dx$. (Tenga en cuenta que mi convenio será escribir en términos de $m=k^2$ en lugar de $k$). Ingenuamente, el rango permitido de $m$$m\in [0,1]$. La pregunta que se presentó anteriormente, entonces es un caso especial de los siguientes: ¿Cuál es el significado de $E(\theta,-m)$$0\leq m \leq 1$?

Para responder a esto, podemos manipular $E(\theta,-m)$ en una forma reconocible. Sustituyendo $u=\pi/2-x$, $$1+m \sin^2 x =1+m(1-\sin^2 u)=(1+m)\left(1-\frac{m}{1+m}\sin^2 u\right)$ $ y por lo tanto

\begin{align} E(\theta,-m) &=(1+m)^{1/2}\int\limits _{\pi/2-\theta}^{\pi/2} \sqrt{1-\frac{m}{1+m}\sin^2 u}\,du \\ &=(1+m)^{1/2} E\left(\frac{\pi}{2},\frac{m}{1+m}\right)-(1+m)^{1/2} E\left(\frac{\pi}{2}-\theta,\frac{m}{1+m}\right). \end{align}

Tenga en cuenta que la función en el primer término es, de hecho, la completa integral elíptica $E\left(\frac{m}{m+1}\right).$ Para el caso especial de $m=1$, llegamos a la conclusión de que

\begin{align} E(\theta,-1) &=\int_{0}^\theta \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx \\ &= \sqrt{2}E\left(\frac{1}{2}\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\pi}{2}-\theta,\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}\int_{\pi/2-\theta}^{\pi/2} \sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}\,dx. \end{align}