Más precisamente, es cualquiera de las siguientes dos afirmaciones coherentes con ZF:
$2^{\aleph_0}\geq\aleph_{\alpha}$ por cada número ordinal $\alpha$,
$2^{\aleph_0}\leq\aleph_{\alpha}\implies 2^{\aleph_0}=\aleph_{\alpha}$ por cada número ordinal $\alpha$?
Yo estoy pidiendo principalmente por curiosidad.
Ambos son incompatibles con ZFC, y la primera es incompatible con ZF así.
El axioma del infinito nos dice que $\mathbb N$, la colección de los números naturales (o finito de los números ordinales) es un conjunto. El axioma de juego de poder nos dice por lo tanto que cada conjunto tiene un juego de poder, en particular,$\mathbb N$.
Sabemos que el tamaño de $P(\mathbb N)=\mathbb R$$2^{\aleph_0}$, sin embargo este puede ser $\aleph_1$ o $\aleph_2$ o incluso superior. Sin el axioma de elección puede que no sea un $\aleph$ número.
Así que tenemos que $\mathbb R$ es un conjunto, por lo tanto lo es $\mathbb R\times\mathbb R$. Por lo tanto, tiene como juego de poder, a partir de la cual podemos tomar todos los subconjuntos de a $\mathbb R\times\mathbb R$ que son relaciones de orden en un subconjunto de a $\mathbb R$, y podemos tomar todos aquellos que están bien ordenados.
Cada uno es isomorfo a un ordinal, por lo que la asignación de cada relación $R$ a partir de esta colección en el ordinal es una función definida por una fórmula (posiblemente con parámetros), cuyo dominio es un conjunto. Por el axioma de reemplazo de la imagen es un conjunto de ordinales, ya que isomorfismo va "en ambos sentidos" tenemos que este es el mismo conjunto como $\{\beta\in\mathrm{Ord}\mid\ \exists f\colon\beta\to\mathbb R\text{ injective}\}$
Desde $\mathbb R$ es un conjunto no sólo se pueden establecer muchos de los ordinales de esta propiedad, al menos ordinal por encima de ellos se llama Hartogs número de $\mathbb R$ y no puede ser inyectado en $\mathbb R$, denota por $\aleph(\mathbb R)$, si es así que $\aleph(R)\nleq\mathbb R$.
En cuanto a la segunda pregunta, si suponemos el axioma de elección, entonces el argumento anterior muestra que para algunos $\aleph_\alpha$ tenemos que $2^{\aleph_0}<\aleph_\alpha$, y por lo tanto para todos los $\beta>\alpha$. La segunda afirmación implica, si es así, ese $\aleph_\alpha=\aleph_\beta=2^{\aleph_0}$ para casi todos los ordinales.
Sin embargo, sin el axioma de elección es coherente tiene que para cada ordinal finito (o no) que tengan cualquiera de las $\alpha=0$ y, a continuación, $\aleph_0<2^{\aleph_0}$ e lo contrario $\aleph_\alpha\neq 2^{\aleph_0}$. Esto haría que la hipótesis de la implicación de la segunda afirmación falsa y la afirmación de sí mismo vacuously verdadero.
Leer más:
Yo soy de la lectura de su declaración "$2^{\aleph_0} \geq \aleph_\alpha$" para decir que hay una inyección de $\omega_\alpha$ a $\mathbb{R}$. (Y lo mismo para "$2^{\aleph_0} \leq \aleph_\alpha$".)
(1) no es consistente, ya que dado cualquier conjunto $X$, no sólo se ponen en muchos de los ordenamientos de los subconjuntos de a $X$. (Sin Elección, definir $WO(X) = \{ R : R\text{ is a well-ordering of a subset of }X \}$. Esto es claramente un conjunto por el Poder Establecido, el Emparejamiento y la Separación). Mediante la Sustitución de la familia de la orden-tipos de elementos de $WO(X)$ es también un conjunto. De esto se sigue que para cada conjunto $X$ debe haber un $\alpha$ que "$\aleph_\alpha \leq | X |$" no se sostiene.
(2) sólo sería coherente vacuously: donde no hay buen orden de los reales y por lo tanto la declaración $2^{\aleph_0} \leq \aleph_\alpha$ nunca tiene. (Si hay una inyección de $\mathbb{R}$ a $\omega_\alpha$, entonces hay también una inyección de $\mathbb{R}$ a $\omega_{\alpha+1}$, y claramente $\aleph_\alpha \neq \aleph_{\alpha+1}$.)
Ser cuidadoso acerca de los cuantificadores, la respuesta a tu primera pregunta es sí, y de su segundo no es. Más precisamente, para cualquier ordinal $\alpha$ hay una forzando la extensión del universo donde (no sólo ZF pero incluso ZFC tiene y) $2^{\aleph_0} \ge\aleph_\alpha$. Una simple modificación de Cohen original del argumento de las obras. Lo que Cohen demostró es que uno puede "añadir un montón de (Cohen) reales" para el universo sin cambiar ninguno de los cardenales, lo que significa que si y ordinal $\alpha$ era cardenal, el cardenal después de añadir todos los reales. Por lo tanto, si se agrega al menos $\aleph_\alpha$ reales, en el forzamiento de la extensión de la continuidad tiene un tamaño de al menos $\aleph_\alpha$.
Sin embargo, la igualdad no siempre es posible, al menos en algunas elección. Hay una restricción básica: Koenig demostrado que $\kappa^{cf(\kappa)}>\kappa$ para cualquier infinita cardenal $\kappa$. Desde $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$, llegamos a la conclusión de que $2^{\aleph_0}$ no puede ser un cardenal de cofinality $\omega$.
Solovay demostrado (a la derecha después de Cohen resultado) de que esta es básicamente la única objeción: Cohen construcción se mencionó anteriormente, no sólo "conserva cardenales" pero, de hecho, conserva todos los cofinalities. Solovay mostró que si empezamos en Goedel L, o, más generalmente, en un modelo de la GCH, a continuación, la adición de $\aleph_\alpha$ Cohen reales da un modelo donde $2^{\aleph_0}$ es, precisamente,$\aleph_\alpha$, siempre que $\aleph_\alpha$ no han contables cofinality, para empezar.
Por ejemplo, si se añade $\aleph_\omega$ Cohen reales, entonces de alguna manera una realidad ha añadido $\aleph_{\omega+1}$ reales.
Si el modelo original no es un modelo de GCH, entonces es evidente que existe una restricción adicional, dado por la monotonía del cardenal exponenciación: Si $2^\kappa >\lambda > \kappa$, entonces, por supuesto, no podemos conservar todos los cardenales y hacer $2^{\aleph_0}=\lambda$, independientemente de la cofinality de $\lambda$. Pero esta situación no se produce si GCH sostiene.
Veo que literalmente significa tener los cuantificadores de la manera que usted escribió. La respuesta a la primera pregunta ya no es: Hartog demostrado (en ZF) que para cualquier conjunto a $X$ hay un límite superior en los ordinales que se puede inyectar en $X$. Esto es fácil de ver: Si $\alpha$ inyecta en $X$, entonces existe un subconjunto $Y$ $X$ y una relación binaria $R$ en ese subconjunto tal que $(Y,R)$ es isomorfo a $(\alpha,\in)$. Pero entonces la colección de $\alpha$ que se inyecte en $X$ es un conjunto (la imagen de la recogida de tales pares de $(Y,R)$).
En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es no si los reales son bien disponible, porque siempre son más grandes que $\aleph_0$, ya que el teorema de Cantor no hace uso de la opción. La respuesta es sí (vacuously) si los reales no puede ser bien ordenado, y esto es consistente. (Cohen prueba de que la elección es independiente de ZF en realidad da de los modelos en los reales no está disponible.)
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