Conjunto teórico dificultades relativas a la normalidad

Question

En sus "Conferencias sobre el Conjunto Teórico de la Topología de" María Elena Rudin estados al final de la página 5 que "En el caso en nomality esto es doblemente difícil por el hecho de que la normalidad es un de segundo orden de la propiedad que a menudo puede no decidir si un determinado espacio topológico es normal o no dentro de las habituales axiomas de la teoría de conjuntos."

¿Qué significa "nomality es un de segundo orden de la propiedad"? Y por qué esto es una particularidad de la normalidad? La regularidad no es un de segundo orden de la propiedad?

Es posible definir un espacio topológico en ZFC que es indecidible si este espacio es normal o no?

Answer 1

¿Qué significa "la normalidad es un de segundo orden de la propiedad"?

Esto significa que la declaración "$X$ es un espacio normal" requiere no trivial de la cuantificación sobre los subconjuntos de un conjunto. En particular, para un espacio topológico $(X,\tau)$ con base $\mathcal{B} \subset \tau$, la afirmación de que $X$ es normal, es equivalente a la siguiente, de segundo orden, instrucción,

$$\forall A,B \in \mathcal{P}(\mathcal{B})\, \exists U, V \in \mathcal{P}(\mathcal{B}): \text{ either } (\cup A) \cup (\cup B) \neq X, \text{ or } \quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad (X\backslash \cup A) \backslash \cup U= \emptyset,\,\, (X\backslash \cup B)\backslash \cup V = \emptyset, \text{ and } (\cup U) \cap (\cup V) = \emptyset.$$

Es posible definir un espacio topológico en ZFC que es indecidible si este espacio es normal o no?

Sí.

Una buena manera de hacerlo es considerar los espacios relacionados con sistemas de escaleras en $\omega_1$.

Definición:

1. Un Sistema de escaleras en un conjunto estacionario $S \subset \lim(\omega_1)$ es $S$-indexada secuencia $M=\langle M_\gamma: \gamma \in S\rangle$ contables de subconjuntos de a$\omega_1$, de tal manera que, $\operatorname{ot}(M_\gamma) = \omega\,$ e $\,\sup (M_\gamma) = \gamma $.

2. Para cada sistema de escaleras de $M=\langle M_\gamma: \gamma \in S\rangle$, dejamos $X_M$ denotar el espacio topológico definido en el set $A=\omega_1 \times \{0\} \cup S \times \{1\}$, dejando que cada una de las $(\gamma, 0) \in A$ ser aislado y tomando como abierto básicos barrios de cada $(\gamma,1) \in A$, los conjuntos de la forma $\{ (\gamma,1) \} \cup B$ donde $B \subset M_\gamma \times \{0\}$ co-finito.

Como resulta que, si cualquiera de los espacios de $X_M$ son normales, es independiente de la $\mathsf{ZFC}$; para una buena discusión de este resultado, vea el documento,

Balogh, Zoltán; Eisworth, Todd; Gruenhage, Gary; Pavlov, Oleg; Szeptycki, Pablo, Uniformización y anti-uniformización de las propiedades de sistemas de escaleras, Fundam. De matemáticas. 181, Nº 3, 189-213 (2004). ZBL1051.03034.,