Derivada como cociente de la diferencia difíciles de los límites debido a las raíces cuadradas

Question

Tengo una función que quiero encontrar la derivada de la utilización de la diferencia del cociente de la definición de un derivado. La función es:

$$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$$

por lo tanto, utilizando la diferencia cociente definición, tenemos:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{\sqrt{x+h}}{x+h+1}-\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)$$

esto es igual a:

$$\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{(x+1)\sqrt{x+h}-(x+h+1)\sqrt{x}}{(x+1)(x+h+1)}\right)$$

He intentado utilizar (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 para deshacerse de las raíces cuadradas en el numerador, pero el denominador se pone bastante enorme, así que no estoy seguro de si este es el camino sabio proceder hacia abajo.

En este punto me quedo pegado con el álgebra. Entiendo que esto es un simple derivado a tomar usando el cociente de la regla, pero estoy tratando de practicar la realización de los límites, y para aprender álgebra trucos.

Paso a paso el cálculo sería de gran ayuda. Muchas gracias

Answer 1

Como alternativa, puede utilizar la definición de

$$f'(a)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Esto le da

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{\sqrt x}{x+1}-\frac{\sqrt a}{a+1}}{x-a}=\frac{(a+1)\sqrt x-(x+1)\sqrt a}{(a+1)(x+1)(x-a)}$$

$$=\frac{(a\sqrt x-x\sqrt a)+(\sqrt x-\sqrt a)}{(a+1)(x+1)(x-a)}=\frac{-\sqrt {ax}\cdot (\sqrt x-\sqrt a)+(\sqrt x-\sqrt a)}{(a+1)(x+1)(x-a)}$$

$$=\frac{1-\sqrt {ax}}{(a+1)(x+1)}\cdot\frac{\sqrt x-\sqrt a}{x-a}$$

Como $x \rightarrow a$, el primer factor se convierte en

$$\frac{1-a}{(a+1)^2}$$

y la segunda

$$\frac{\sqrt x -\sqrt a}{x-a}=\frac{x-a}{(x-a)(\sqrt x +\sqrt a)}=\frac{1}{\sqrt x+\sqrt a}\rightarrow \frac{1}{2\sqrt a}$$

Answer 2

Usted escribió correctamente$$\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{(x+1)\sqrt{x+h}-(x+h+1)\sqrt{x}}{(x+1)(x+h+1)}\right)$$ Now, it is clear that the problem is within $\sqrt{x+h}$. But, you could use the generalized binomial theorem to write $$\sqrt{x+h}=\sqrt{x}+\frac{h}{2 \sqrt{x}}+\cdots$$ So, for the numerator $$A=(x+1)\sqrt{x+h}-(x+h+1)\sqrt{x}=(x+1)\left(\sqrt{x}+\frac{h}{2 \sqrt{x}}+\cdots \right)-(x+h+1)\sqrt{x}$$ Expanding and simplifying $$A=\frac{h}{2 \sqrt{x}}-\frac{h \sqrt{x}}{2}=h\frac{1- x}{2 \sqrt{x}}$$ y el problema general se convierte en simple.

Answer 3

El uso de su idea, simplemente ignore el denominador hasta más tarde. Si usted va a través del numerador, verás que $$\begin{align*} &\left((x+1)\sqrt{x+h}-(x+h+1)\sqrt{x}\right)\cdot\left((x+1)\sqrt{x+h}+(x+h+1)\sqrt{x}\right)\\ =&(x+h)(x+1)^2-x(x+h+1)^2\\ =&hx^2+2hx+h+x^3+2x^2+x-h^2x-2hx^2-2hx-x^3-2x^2-x\\ =&-hx^2-h^2x+h\\ =&-h(x^2+xh-1) \end{align*}$$ en que punto se observa que este factor de $h$ se llevan muy bien con el factor de $\frac{1}{h}$...

El límite se convierte entonces en $$f'(x)=\lim_{h\to 0}-\frac{x^2+xh-1}{(x+1)(x+h+1)\left((x+1)\sqrt{x+h}+(x+h+1)\sqrt{x}\right)}$$