Si $f(4xy)=2y[f(x+y)+f(x-y)]$$f(5)=3$, encontramos a $f(2015)$

Question

Supongamos que la función de $f:\Bbb R\to\Bbb R$ satisface las siguientes condiciones:

$$\begin{align} f(4xy)&=2y[f(x+y)+f(x-y)] \\[4pt] f(5)&=3 \end{align}$$

Encontrar el valor de $f(2015)$.

He intentado encontrar algún otro escondite condición, como $f(0)=0,$ , pero que es inútil.

Answer 1

Con la función,

$$f\left(4xy\right) = 2y\left[f\left(x + y\right) + f\left(x - y\right)\right] \tag{1}\label{eq1}$$

En primer lugar, sustituto $y = 0$ conseguir

$$f\left(0\right) = 0 \tag{2}\label{eq2}$$

Luego sustituye $x = 0$ y el uso de \eqref{eq2} para obtener

$$0 = 2y\left[f\left(y\right) + f\left(-y\right)\right] \tag{3}\label{eq3}$$

Por lo tanto, para todos los valores de $y$ otros de $0$, dividiendo ambos lados por $2y$ da

$$f\left(y\right) = -f\left(-y\right) \tag{4}\label{eq4}$$

En otras palabras, $f$ es una función impar. Siguiente, sustituyendo $y = 1$ a \eqref{eq1} da

$$f\left(4x\right) = 2\left[f\left(x + 1\right) + f\left(x - 1\right)\right] \tag{5}\label{eq5}$$

Ahora, el uso de $x = 1$ en \eqref{eq5} da

$$f\left(4\right) = 2\left[f\left(2\right) + f\left(0\right)\right] \tag{6}\label{eq6}$$

Por lo tanto, el uso de \eqref{eq2} da

$$f\left(4\right) = 2f\left(2\right) \tag{7}\label{eq7}$$

Del mismo modo, el uso de $x = 3$ en \eqref{eq5} da

$$f\left(12\right) = 2\left[f\left(4\right) + f\left(2\right)\right] \tag{8}\label{eq8}$$

Por lo tanto, el uso de \eqref{eq7} da

$$f\left(12\right) = 6f\left(2\right) \tag{9}\label{eq9}$$

Tenga en cuenta que \eqref{eq2}, \eqref{eq4}, \eqref{eq7} y \eqref{eq9} satisfacer a todos

$$f\left(nx\right) = nf\left(x\right) \forall \; n \in N \tag{10}\label{eq10}$$

En particular, para \eqref{eq2}, $n = 0 \; \forall \; x \in R$; para \eqref{eq4}, $n = -1 \; \forall \; x \in R$; y para \eqref{eq7} & \eqref{eq9}, $x = 2$ sólo, con $n = 2$ & $n = 6$, respectivamente. Esto no prueba \eqref{eq10} siempre funciona, pero sugiere que $f$ es lineal múltiple de $x$, yo.e, $f\left(x\right) = kx \text{ for a non-zero constant } k \in R$, que a partir de la condición dada de

$$f\left(5\right) = 3 \tag{11}\label{eq11}$$

da un valor de $k = \frac{3}{5}$ por lo que la función sería

$$f\left(x\right) = \cfrac{3x}{5} \tag{12}\label{eq12}$$

Para confirmar esto, sustituto \eqref{eq12} a \eqref{eq5} para dar en el lado izquierdo

$$\cfrac{12x}{5} \tag{13}\label{eq13}$$

con el lado derecho de convertirse en

$$2\left[\cfrac{3\left(x + 1\right)}{5} + \cfrac{3\left(x - 1\right)}{5} \right] = 2\left[\cfrac{\left(3x + 3 + 3x - 3\right)}{5} \right] = \cfrac{12x}{5} \tag{14}\label{eq14}$$

Del mismo modo, el uso de \eqref{eq12} \eqref{eq1} da una a la izquierda y a la derecha lado de $\frac{12xy}{5}$, lo que confirma que es también una solución de la ecuación original. No estoy muy seguro de improviso como para demostrar que el único, pero supongo que es. Por lo tanto, obtener una respuesta definitiva de

$$f\left(2015\right) = \cfrac{3 \times 2015}{5} = 1209 \tag{15}\label{eq15}$$

Nota: La solución podría implicar simplemente "adivinando" la función de ser una constante en varios de los argumentos y, a continuación, mostrando esto funciona para determinar la respuesta final, pero pensé que podría ser útil para que la gente vea cómo uno puede acercarse a la solución de este problema de alguna manera de forma sistemática, como yo hice. En particular, he intentado utilizar pequeños valores constantes para $x$ e $y$, la comprobación de lo que la información que ofrece, y luego ver si podía aprovechar esta cuando el uso de otros valores. Por ejemplo, empecé con $x = 0$ e $y = 0$, entonces se utiliza $y = 1$, $x = 1$ e $x = 3$. Cada vez, he utilizado anteriores detalles que ayudan a simplificar y aprender más acerca de los nuevos valores, hasta que vi el patrón que luego confirmó trabajado.

Answer 2

En primer lugar, es trivial que $$f(0) = f(4\cdot 0\cdot 0) = 2\cdot 0 \cdot [f(0) + f(0)] = 0$$

A continuación, vemos que $$0 = f(0) = f(4\cdot 0 \cdot y) = 2y\cdot [f(y) + f(-y)]\text{,}$$ lo que implica que $f(-y) = -f(y)$ para todos los $y\neq 0$.

Después, uno se percata de que $$f(4xy) = f(4yx)$$ Por lo tanto, $$2y\cdot [f(x+y) + f(x-y)] = 2x\cdot [f(x+y) + f(y-x)]$$ $$\Leftrightarrow (x-y)\cdot f(x+y) = (x+y)\cdot f(x-y)$$ $$\Leftrightarrow f(x+y) = \frac{x+y}{x-y}\cdot f(x-y)$$

Si sustituimos ahora $x=1010$ e $y=1005$, obtenemos que $$f(2015) = \frac{2015}{5}\cdot 3 = 1209$$