He estado estudiando a lo largo de muchos textos sobre fracciones continuas, pero ninguno de ellos parece ser lo que me ayuda a demostrar los siguientes hermosa continuó-fracción de la identidad (yo estoy en ninguna parte cerca): $$ \cfrac{1}{\dfrac{5}{2 \pi} - \cfrac{1}{\dfrac{15}{2 \pi} - \cfrac{1}{\dfrac{25}{2 \pi} - \cfrac{1}{\dfrac{35}{2 \pi} - \cfrac{1}{\dfrac{45}{2 \pi} - \ddots}}}}} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}. $$ Doy la bienvenida a cualquier persona en la comunidad para ofrecer cualquier conocimiento que él/ella pueda tener. Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la más general continuó fracción
$$\cfrac{1}{x - \cfrac{1}{3x- \cfrac{1}{5x- \cfrac{1}{7x - \cfrac{1}{9x - \ddots}}}}}$$
Algunos numérico experimentación sugiere que esto es igual a $\tan (1/x)$. Entonces podemos sustituir $x = \frac{5}{2 \pi}$ para obtener la identidad original.
Edit: Esta identidad es la tercera continuó fracción de identidad para la tangente que aparece en esta página.
Edit 2: Una prueba de la persistencia de una fracción de $\tan x$, tomado de Chrystal del Álgebra. Para derivar la identidad anterior, sustituto $1/x$ $x$ en la identidad de esa página y, a continuación, hacer algún tipo de manipulación.
