De cuántas maneras podemos tratar un 13-la mano de la tarjeta con al menos un traje que no aparece?

Question

En el tratamiento de una $13$-tarjeta de mano que con al menos $1$ traje que no aparece, se me ocurrió esto:

Podemos optar $3$ de la $4$ trajes, como en $3 \choose 4$, y, a continuación, $13$ cartas de las $39$ tarjetas (de la $3$ trajes), que es $39 \choose 13$. Multiplicar juntos para conseguir $3 \choose 4$$39 \choose 13$, y no tenemos una respuesta.

Sin embargo, yo no creo que eso sea correcto. Creo que estoy pensando demasiado simple y faltan un par de cálculos y medidas. Alguien puede decirme qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Deje $A_i$ el conjunto de manos sin cartas en el palo,$i$.

Entonces usted está en busca de $|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4|$, lo que requiere de la inclusión-exclusión. Por simetría, se obtiene:

$$|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4| = \binom{4}{1}|A_1|-\binom{4}{2}|A_1\cap A_2| + \binom{4}{3}|A_1\cap A_2\cap A_3| - \binom{4}4|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4|$$

Sólo tienes el $\binom{4}{1}|A_1|$ plazo.

Su respuesta es bastante maldito cerca, sin embargo, debido a que el número de manos que tienen vacíos en varios juicios es baja.