Pregunta acerca de los elementos en un cartesiana cerrada categoría.

Question

Hace poco fui a estudiar los aspectos básicos de los topoi de una clase y tenía algunas preguntas sobre cartesiano categorías cerradas, más específicamente acerca de los elementos y exponenciales (de aquí en adelante, $\simeq$ significa un isomorfismo en la categoría correspondiente).

1. Es cierto que, si $1$ es un terminal de objeto en $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}(1,X)\simeq\mathcal{C}(1,Y)$ implica $X\simeq Y$? Yo sé que es verdad en la $\mathtt{Set}$ (y en cualquier categoría en la que podemos realmente lo que respecta $X^Y$ $\mathcal{C}(Y,X)$ no sólo por $\mathcal{C}(1,X^Y)\simeq\mathcal{C}(Y,X)$, pero de una manera más "concreto" de sentido);
2. (Ya sé cómo hacer esto si el punto anterior es verdadera) Es cierto que si $F$ $G$ ambos $\mathcal{C}$-endofunctors tal que $F\dashv G$, entonces no sólo tenemos $$\mathcal{C}(FX,Y)\simeq\mathcal{C}(X,GY)$$ but also $$Y^{FX}\simeq GY^X?$$

Estoy muy interesado en estos resultados y agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

1. No. Toposes en el que esa afirmación es verdadera se llama así-señaló , y son relativamente raras las cosas. Cartesiano de cierre es, por tanto, ciertamente no es suficiente para inducir. Para conectar lo que usted dijo que más de cerca a la meta, tenga en cuenta que su declaración es esencialmente $\mathcal{C}(1,-)$ es conservador. Un conservador functor es fiel si conserva y ecualizadores $\mathcal{C}$ tiene de ellos. $\mathcal{C}(1,-)$, al igual que todos covariante hom-functors, conserva todos los límites, incluyendo ecualizadores. Toposes, por definición, tienen ecualizadores.

2. Esta condición implica que $F$ es un fuerte functor (que siempre será en $\mathbf{Set}$). En particular, implica $F(A\times X)\cong A\times FX$ natural en $A$$X$. Un fuerte functor es más o menos donde la functorial acción puede ser internalizado es decir, en vez de sólo tener una familia de funciones de $\mathcal{C}(A,B)\to\mathcal{C}(FA,FB)$ tenemos una transformación natural $[A,B]\to[FA,FB]$ donde $[A,B]$ es el hom interno de $\mathcal{C}$ que, con respecto a la cartesiano monoidal de la estructura, se $B^A$. En cualquier caso, functors no necesita ser fuerte y que ya debería haber sido un signo de advertencia de que este isomorfismo requerido $F$ $G$ a ser endofunctors.