Para mí, esta pregunta es como un pez que cada vez que parezco atraparlo, logra escaparse de mis manos de nuevo.
Si $U$ es un subconjunto no numerable de $\mathbb R$, ¿se puede demostrar que existe algún $x\in\mathbb R$ tal que $U\cap(-\infty,x)$ y $U\cap(x,\infty)$ ambos son no numerables?
Gracias de antemano.
Dado que $U$ es innumerable (y $\mathbb{R}$ es contable de segundo orden), todos los puntos de $U$ excepto contablemente muchos son puntos de condensación de $U$. Si $x < y$ son dos puntos de condensación de $U$, entonces $\frac{x+y}{2}$ es como se desea.
Podría estar equivocado aquí, pero lo siguiente me viene a la mente:
Si $U$ no tiene ni el primer ni el último elemento, por ejemplo si es el conjunto $\mathbb{Z}$, entonces cualquier división del subconjunto $U$ en $U_1\in\langle-\infty,x\rangle\cap U$ y $U_2\in\langle x,\infty\rangle$, ambos $U_1$ y $U_2$ son innumerables.
Sin embargo, si el conjunto tiene un primer o un último elemento, por ejemplo, el conjunto $\mathbb{N}$, entonces $U_1$ xor $U_2$ sería contable.
Sería imposible probar que ambos subconjuntos son innumerables sin especificar más que $U$ no tiene ni el primer ni el último elemento. Y si es así, cualquier $x\in\langle-\infty,\infty\rangle$ cumpliría con los criterios porque $U\in\langle-\infty,\infty\rangle$ y $x\in U
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