Imagen continua de la mitad de la línea es metrizable

Question

Me encontré con algo en la literatura hace un par de semanas (sin prueba):

Si $X$ es un uno-a-una imagen continua de $[0,\infty)$, e $X$ es Hausdorff, entonces $X$ es metrizable.

¿Cómo se puede demostrar esto?

EDIT: yo originalmente salió por la suposición de que $X$ es un uno-a-uno de la imagen. Usted necesitará esta!

Answer 1

Tan lejos como puedo ver $X$ incluso no tienen que ser consecutivos.

Deje $u$ ser cualquier punto en $\beta [0,\infty) \setminus[0,\infty)$ y deje $X$ ser el cociente de la subespacio $[0,\infty) \cup \{u\}$ identificación de $u$$0$. A continuación, $X$ es un espacio de Hausdorff porque $\{0, u\}$ es compacto. La restricción del cociente mapa a $[0,\infty)$ es un continuo bijection en $X$.

El intervalo de $[1, \infty)$ no está cerrado en $X$: desde $[0,1]$ es compacto, es cerrado en $\beta[0,\infty)$, lo $u$ debe ser un punto límite de $(1,\infty)$.

Sin embargo, $[1, \infty)$ es de forma secuencial cerrado: es cerrado en $[0,\infty)$, que, porque es normal, es secuencialmente cerrado en su Čech-Piedra compactification. (prueba)