Continuidad de la función $f(x)$ en números irracionales.

Question

Sea $\{q_k:\ k \in \mathbb N^+\}$ una enumeración de los números racionales en $[0,\ 1)$ y sea $(a_k)$ una secuencia de números reales estrictamente positivos tal que

$$ \sum_{k=1}^\infty a_k = 1 $$

Denotemos $S(x) = \{k \in \mathbb N^+:\ q_k \in [0,\ x)\}$ es decir, los índices de los números racionales en $[0,\ x)$ y definamos $f:[0,\ 1] \rightarrow \mathbb R$ por

$$ f(x) = \begin{cases} \sum_{k \in S(x)} a_k & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $$

Sé que $f(x)$ es discontinua en cada número racional positivo. Especulo que $f(x)$ es continua en números irracionales, pero no tengo idea de cómo demostrarlo o refutarlo.

Answer 1

Puedes encontrar una respuesta en este hilo. Aunque la situación es más especial, porque se elige $a_k = 2^{-k}$, la demostración no cambia. Sea $x \in \mathbb{R}$ irracional, y sea $N \in \mathbb{N}$ con $\sum_{k=N1}^\infty a_n < \varepsilon/2$. Ahora define $$\delta:= \min_{i=1,\ldots,N}|q_i-x|.$$ Para cualquier $|y-x| < \delta$ tenemos que $q_k \in [0,x)$ si y solo si $q_k \in [0,y)$ para todos los $k=1,\ldots,N$. Por lo tanto $$S(x) \cap [1,N] = S(y) \cap [1,N]$$ y por lo tanto $$|f(x)-f(y)| \le 2 \sum_{k=N+1}^\infty a_k<\varepsilon.$$