Por comodidad, definamos que un número entero es un "supercuadrado" si:
- El número en sí es un número cuadrado positivo
- Cada dígito del número es un cuadrado positivo (1, 4, 9)
- La suma de dígitos es un cuadrado
Por ejemplo, 144 es un supercuadrado porque:
- $144=12^{2}$
- Cada dígito es un cuadrado positivo (1, 4 y 4)
- $1+4+4=9=3^{2}$
Aquí están las primeras supercuadras que he podido encontrar: 1, 4, 9, 144, 441, 44944
Ahora me gustaría preguntar:
- ¿Existen infinitos supercuadros?
- Si permitimos que los "casi supercuadros" tengan exactamente un 0, por ejemplo, $9941409=3153^2$ ¿hay infinitos casi supercuadros?
(permitir dos 0s es trivial, porque multiplicar un supercuadrado por potencias de 100 dará los enteros necesarios, por ejemplo, 4494400, 449440000, etc.)
Lamentablemente, la motivación es por mi propia curiosidad personal y por eso tengo poca idea de cómo enfocar el problema. Sin embargo, una comprobación rápida con Python para los enteros a continuación $10^{14}$ ha encontrado que 44944 es el supercuadrado más alto hasta ahora, y 4410449411449 es el casi supercuadrado más alto.
Edición: Después de buscar entre los enteros de abajo $10^{18}$ el mayor supercuadrado sigue siendo 44944, pero aquí está la secuencia de casi supercuadros:
9941409, 141111419904, 941911011441, 1119444409444, 1144944940441, 4410449411449, 4991441999419044, 49041994144141441, 141114911949411904, ...
