Volumen entre la esfera y el cilindro con diferentes centros de

Question

Estoy trabajando en un modelo de tumor y la necesidad de calcular el volumen encerrado entre la esfera dada por

$$(x-d)^2+y^2+z^2=r^2$$ y el cilindro dado por $$x^2+y^2=R^2.$$

He trabajado a cabo mediante el uso de superficies de revolución, pero esto es tedioso y requiere numerosos casos. Cuando trato de usar coordenadas cilíndricas que al final me la integral $$\int^{2\pi}_0 \int^R_0 \int^{\sqrt{r^2-R^2+d^2-2dR\cos (\theta )}}_{-\sqrt{r^2-R^2+d^2-2dR\cos (\theta )}} R~dz~dR~d\theta$$ que no compute. Sospecho que tampoco estoy cometiendo un error en mi transformación a coordenadas cilíndricas o un método diferente es necesario.

Answer 1

Reloj hacia fuera. Estás mezclando las constantes y variables ($R$ es una constante en el cilindro de ecuación sino una variable en la integral). Vamos a emplear algunas de las definiciones revisadas. Deje que el radio de la esfera se $A$ y la de los cilindros de ser $R$. Estamos buscando el volumen encerrado entre estas dos superficies:

$$(x-d)^2+y^2+z^2=A^2$$

$$x^2+y^2=R^2$$

Tenga en cuenta que por simetría, el volumen encerrado por encima de la $xy$ plano es igual al volumen encerrado por debajo de ella. Vamos a integrar a la parte superior del volumen de $z=0$ $z$ a de la esfera, a continuación, haga doble el resultado.

Sabiendo esto, podemos emplear una integral doble sobre la región circular en el $xy$ plano. Vamos a integrar la función de $z = \sqrt{A^2 -(x-d)^2 -y^2}$. Ya que vamos a utilizar coordenadas polares $(r,\theta)$, expresamos $z$$z= f(r,\theta)$$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$.

$$z = f(r,\theta) = \sqrt{A^2 -d^2 -r^2 + 2rd\cos\theta}$$

$$V= 2\iint f(r,\theta) r dr d\theta$$

$$= 2\int_0^{2\pi} \int_0^R \sqrt{A^2 -d^2 -r^2 + 2rd\cos\theta}\ r dr d\theta$$

Aquí es lo que Mathematica da para valores seleccionados de $A,d,and R$. Espero que esta ayuda.