Cómo mostrar la divergencia de $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}$

Question

Las 10 pruebas estándar que se enseñan en clase son:

1) $n^{th}$ prueba de término de divergencia.(No aplicable: $\lim =0$ ).

2) Serie geométrica (no aplicable).

3) Serie telescópica (no aplicable)

4) Prueba integral (No aplicable: $f<0$ a veces)

5) $p$ -serie(No aplicable)

6) Comparación directa (quizás)

7) Comparación de límites (no aplicable) $a_n<0$ a veces)

8) Prueba de series alternas (no alternas)

9) La prueba de la relación falla

10) La prueba de la raíz falla

Encontré una pista en línea que dice que debemos mostrar que para $k^2+1\leq n\leq k^2+k$ tenemos $\sum\limits_{n=k^2+1}^{k^2+k}\frac{\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}>\frac{1}{8}$ . ¿Existe una manera más fácil y, si no, cómo debemos mostrar esto?

Answer 1

Sugerencia: si puede encontrar $k$ para que $\sqrt{k^2+1}$ está muy cerca de $\dfrac{\pi}{2}$ , entonces para $i$ como máximo $k$ , $\sqrt{k^2+i}$ también estará cerca de $\dfrac{\pi}{2}$ (Porque la diferencia entre $\sqrt{k^2+1}$ y $\sqrt{k^2+i}$ es como máximo $0.5$ ya que $(\sqrt{k^2+1}+\dfrac{1}{2})^2>k^2+k$ .

Ahora bien, para tales $k$ , $\sin(\sqrt{k^2+i})$ para $i$ como máximo $k$ estará limitada por debajo por alguna constante $C$ (han encontrado algo que funciona con 1/8, pero puedes encontrar uno propio). Entonces: $$\sum_{n=k^2+1}^{n=k^2+k} \dfrac{\sin\sqrt n}{\sqrt n} > C \sum_{n=k^2+1}^{n=k^2+k} \dfrac{1}{\sqrt n} > C \sum_{n=k^2+1}^{n=k^2+k} \frac{1}{k} = C$$

Answer 2

La insinuación que has dicho no puede ser cierta para todos $k$ pero da una idea de cómo mostrar que la serie es divergente.

Primero recuerda que en $[2k\pi+\pi/4;2k\pi+3\pi/4]$ (para $k $ un número entero) $\sin(x)\geq \sqrt 2 /2$ . Ahora la condición $\sqrt n \in [2k\pi+\pi/4;2k\pi+3\pi/4]$ equivale a $n\in [4k^2\pi^2+k\pi^2+\pi^2/16;4k^2\pi^2+3k\pi^2+9\pi^2/16]$ y este último intervalo tiene una longitud de $2k\pi^2+\pi^2/2$ que es mayor que $18k+2$ (utilizando el hecho de que $\pi\geq3)$ . Así que este intervalo contiene al menos $18k$ enteros.

Así, tenemos

$$\sum_{2k\pi+\pi/4\leq \sqrt n\leq2k\pi+3\pi/4}\frac{\sin(\sqrt n)}{\sqrt n}\geq \sum_{2k\pi+\pi/4\leq \sqrt n\leq2k\pi+3\pi/4}\frac{\sqrt2/2}{ {2k\pi+3\pi/4}}\geq 18k\frac{\sqrt2}{2\cdot ( {2k\pi+3\pi/4})}$$

que es mayor que alguna constante (estrictamente positiva).

Así que la serie debe ser divergente.

Sin embargo, no creo que haya una forma (significativamente) más fácil de demostrar este resultado.