el retroceso es preservada por la izquierda exacta functor covariante $T : \mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Ab}$

Question

Este es un problema de Rotman Álgebra Homológica, 5.16. La siguiente es la declaración del problema.

Probar cada izquierdo exacta functor covariante $T:\mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Ab}$ conserva pullbacks. Especialmente $\operatorname{Hom}(M,-)$ preserva la retirada.

$\operatorname{Hom}(M,-)$ conserva tire hacia atrás se puede demostrar muy fácilmente por la propiedad aditiva de la $\operatorname{Hom}(M,B\oplus C)=\operatorname{Hom}(M,B)\oplus \operatorname{Hom}(M,C)$. A la izquierda exactitud de $\operatorname{Hom}(M,-)$ impone la conmutatividad de la jale hacia atrás el diagrama.(Incluso es suficiente para asumir la $B,C\subset A$ y la retirada de $A$ a lo largo de $B,C$ a demostrar el problema, ya que sólo los algunos de los submódulos de $A,B,C$ es importante para la conmutatividad de la retirada.)

Sin embargo, la declaración de que el problema no ha estado $T$ es aditivo. Podría darse el caso de que la retirada de $T(A)$ a lo largo de $T(B),T(C)$ podría no ser un subgrupo de $T(B)\oplus T(C)$ donde $A,B,C\in \mathsf{Mod}_R$. No hay ninguna razón para creer $T(A\oplus B)=T(A)\oplus T(B)$ aquí.

¿Cómo debo probar el caso general, sin la suposición de propiedad aditiva?

Answer 1

Necesitamos lo siguiente: $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ C @>>> D \end{CD} $$

Este es el retroceso fib $0\rightarrow A \rightarrow B\oplus C \rightarrow D$ es exacta.

Answer 2

Deje $0\to A_1\to A_1\oplus A_2\to A_2\to 0$ ser exactos y $T:Ab\to Ab$ ser de izquierda exacta.

$0\to TA_1\to T(A_1\oplus A_2)\to TA_2$. El punto es mostrar a $T(A_1\oplus A_2)\to TA_2$ es surjective. Desde $A_2$ es un sumando directo de $A_1\oplus A_2$, tengo una retracción $\pi_2:A_1\oplus A_2\to A_2,i_2:A_2\to A_1\oplus A_2$ donde $i_2$ es sólo de inyección y $\pi_2$ es sólo la proyección. Por lo $T(1_{A_2})=1_{T(A_2)}=T(\pi_2\circ i_2)=T\pi_2\circ Ti_2$. Desde $Ti_2$ es de inyección de T ser dejado exacto, he encontrado una preimagen de cualquier $Ti_2(a_2)\in A_1\oplus A_2$. Por lo tanto es surjective.

Así que para el derecho exacta caso, el argumento es similar y es suficiente para comprobar la retracción de dar a $0\in A_1$. Esto también muestra a la derecha exacta de la preservación de límite finito.