Calcular $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2} - \cos x}{\sin^2 x}$

Question

Encontrar el límite de $x$ enfoques $0$ de

$\dfrac{e^{x^2} - \cos x}{\sin^2 x}$

Lo que he intentado es $x$ enfoques $0$, $e^{x^2}$ tiende a $1$, por lo que el numerador tiende a $1-\cos x$ y después de hacer algunas trigonométricas simplificaciones tengo la respuesta como $\frac 12$.

Esto es correcto? Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

El uso de l'Hospital:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2 x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0}\frac{2xe^{x^2}+\sin x}{2\sin x\cos x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0}\frac{2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}+\cos x}{2\cos^2x-2\sin^2x}=\frac{2+0+1}{2}=\frac32$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\frac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2x}=\cdots=\frac{\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}}{\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2}+\frac{1-\cos x}{1-\cos^2x}$$

El uso de $\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}h=1=\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u$ para la primera parte

y como $x\to0,\cos x\to1\implies\cos x-1\ne0$ para el segundo

Answer 3

Uso de la expansión de Taylor. Como $x\rightarrow0$, usted tiene

$$e^{x^2}=1+x^2+O(x^4)$$ $$\cos x=1-\frac12x^2+O(x^4)$$ $$\sin^2x=x^2+O(x^4)$$

Así

$$\frac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2 x}=\frac{1+x^2-1+\frac12x^2+O(x^4)}{x^2+O(x^4)}=\frac{\frac32+O(x^2)}{1+O(x^2)}\underset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow} \frac32$$

Answer 4

Como Jean-Claude Arbaut mostró, Taylor expansiones son muy útiles para este tipo de problemas.

Pero, el uso de ellos con un par de más términos, también se puede ver cómo es el límite se acercó a $$A=\frac{e^{x^2}-\cos x}{\sin^2 x}=\frac{\Big(1+x^2+\frac{x^4}{2}+O\left(x^6\right)\Big)-\Big(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)\Big)}{x^2-\frac{x^4}{3}+O\left(x^6\right)}$$ $$A\approx\frac{\frac{3 x^2}{2}+\frac{11 x^4}{24}+O\left(x^6\right)}{x^2-\frac{x^4}{3}+O\left(x^6\right)}=\frac{\frac{3 }{2}+\frac{11 x^2}{24}}{1-\frac{x^2}{3}}$$ Performing the long division, we have $$A\approx \frac{3}{2}+\frac{23 }{24}x^2$$ If you plot on the same graph the function and the above approximation, you will probably be amazed to see how close to each other are the two curves for $-\frac 12\leq x \leq \frac 12$.

Answer 5

Puede utilizar la serie de Taylor como

$$\dfrac{e^{x^2} - \cos x}{\sin^2 x} \sim_{x\sim 0} \dfrac{(1+x^2) - (1-x^2/2)}{x^2} =\frac{3}{2}. $$