Serie de Fourier: ir de $a_n$ $b_n$ $c_n$

Question

Yo especie de entender el principio de la serie de Fourier, pero cuando veo a la wiki de la página no entiendo cómo obtener a partir de:

${a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^N[a_n cos({2\pi n x \over P}) + b_n sin({2\pi n x \over P})]$

a

$\sum_{n=-N}^N c_n e^{i{2\pi n x \over P}}$

Para tener claro lo que no entiendo es la transición desde el uso de los coeficientes de $a_n$$b_n$$c_n$. Estoy familiarizado con la fórmula de Euler. Me di cuenta de que la suma va de-N a N en la segunda ecuación. En el artículo que escribe:

$\begin{align} a_n & = c_n + c_{-n} \\[12pt] b_n & = i(c_n - c_{-n}) \\[12pt] c_n & = \begin{cases} \frac{1}{2}(a_n - i b_n) & \text{for } n \ne 0, \\[12pt] \frac{1}{2}a_0 & \text{for }n = 0. \end{casos} \end{align}$

Así que para conseguir una intuición traté de tomar un ejemplo sencillo en el que N = 4, por ejemplo. Supongo que si me estaba tomando n=-1 y n=1, por ejemplo, sumar los términos con los anteriores relaciones, etc. Me gustaría volver a $a_1 cos(...) + b_1 sin(...)$. Pero no tuve éxito. Me doy cuenta de que probablemente toma bastante tiempo para mostrar cómo pasar de uno a otro, pero agradecería si alguien podría enseñarme o, al menos, me puso sobre la pista de la derecha.

Gracias.

Answer 1

Necesitamos considerar sólo un $n > 0$ (en el caso de $n = 0$ se comprueba fácilmente). En la forma exponencial, consideramos que los dos términos con los índices de $n$$-n$,

$$\begin{align} c_n e^{2\pi inx/P} + c_{-n} e^{-2\pi inx/P} &= c_n (\cos (2\pi nx/P) + i\sin (2\pi nx/P)) + c_{-n}(\cos (2\pi nx/P) - i \sin (2\pi nx/P))\\ &= (c_n + c_{-n})\cos (2\pi nx/P) + i(c_n - c_{-n})\sin (2\pi nx/P), \end{align}$$

por lo $a_n = c_n + c_{-n}$, e $b_n = i(c_n - c_{-n})$. En el trigonométricas forma, consideramos que

$$\begin{align} a_n \cos (2\pi nx/P) + b_n\sin (2\pi nx/P) &= \frac{a_n}{2}\left(e^{2\pi inx/P} + e^{-2\pi inx/P}\right) + \frac{b_n}{2i}\left(e^{2\pi inx/P} - e^{-2\pi inx/P}\right)\\ &= \frac{a_n - ib_n}{2}e^{2\pi inx/P} + \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-2\pi inx/P} \end{align},$$

así, obtenemos $c_n = \frac{a_n-ib_n}{2}$$c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}$.