Demostrar que para cada una de las $0<r<1$ hay $x,y \in [0,1]$ s.t. $|x-y|=r$ $f(x)=f(y)$.

Question

deje $f:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ ser continua y no negativa.dado que el $f(0)=f(1)=0$.

demostrar que para cada una de las $0<r<1$ hay $x,y \in [0,1]$ s.t. $|x-y|=r$ $f(x)=f(y)$.

SOLUCIÓN TENTATIVA: estoy tratando de utilizar el teorema del valor Intermedio para demostrar lo que ellos quieren. lo que significa, la definición de una nueva función de $G(x)$ de manera tal que mediante la inserción de los valores de $G(1)$ $G(0)$ I obtienen dos valores de que su producto es menor que cero, y eso significa que hay es $0<c<1$ que $G(c)=0$. y desde aquí, de alguna manera conseguir que $f(x)=f(y)$, pero estoy atascado aquí y no sabes lo que es $G(x)$. cualquier tipo de ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Ver el $G\colon [0,1-r]\to \mathbb{R}, x\mapsto f(x)-f(x+r)$. A continuación, $G$ es continua y $G(0)=-f(r)\leq 0, G(1-r)=f(1-r)\geq 0$. Por lo tanto por el teorema del valor Intermedio nos tienen un$x_0\in [0,1-r]$$G(x_0)=f(x_0)-f(x_0+r)=0$. Vemos a $f(x_0)=f(x_0+r)$.