Dada la palabra MISSISSIPPI se me pide que cuente el número de (1) permutaciones en las que todas las P están una al lado de la otra (2) permutaciones en las que las P están una al lado de la otra y las I están una al lado de la otra. Para la primera pregunta, hice $$\frac{9!}{4! 4!} \times 10$$ ya que tengo dos conjuntos de 4 letras indistinguibles, y multiplico por 10 porque 2 P's se pueden colocar en 10 lugares diferentes entre/al lado de las letras restantes. Sin embargo, el (2) me confunde. Empecé con $$\frac{5!}{4!}$$ y procedí a multiplicar por el número de formas en que las I y las P podían variar dentro de la palabra. Así, fijando la PP al principio, obtuve 6 variaciones para la IIII, y viceversa. Pero ahora que puedo considerar la posibilidad de mover PP una letra a la derecha (por ejemplo, MPP...) y luego contar las posibilidades, la cosa se pone peliaguda. ¿Hay alguna manera más fácil de calcular (2) (y quizás incluso (1)?)
Respuestas
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Si todas las P deben estar juntas, entonces es más sencillo considerarlas como un único "bloque", PP, que debe permanecer unido. Entonces sólo hay que ordenar este bloque y las letras M, S, S, S, S, I, I y I. Así que se trata de encontrar todas las disposiciones posibles de >
PP, M, S, S, S, S, I, I, I, I
Esto le da 10 cosas para arreglar en orden, $10!$ y luego hay que dividir por las permutaciones de las S ( $4!$ ) y las del Is ( $4!$ ). Así que me parece que la respuesta a la primera pregunta debería ser $$\frac{10!}{4!4!}.$$ Eso da la misma respuesta que obtuviste, pero prepara el terreno para la segunda pregunta.
Para la segunda pregunta, pon todas las íes juntas, y pon todas las P juntas. Tienes que ordenar >
IIII, PP, M, S, S, S, S
por lo que tiene 7 cosas que arreglar; debería dividir por las cuatro permutaciones de las S, por lo que obtendría $$\frac{7!}{4!}$$ diferentes formas de hacerlo.
En (1) tienes en efecto $10$ puestos a cubrir, uno con PP, uno con M, y cuatro con I y S. Hay $\dbinom{10}4$ maneras de elegir cuál de las $10$ posiciones será yo, $\dbinom64$ formas de elegir cuál de las restantes $6$ las posiciones serán S, y $\dbinom21$ formas de elegir una de las dos últimas posiciones para la M, dejando la otra para el PP. Esto supone un total de $$\binom{10}4\binom64\binom21 = \frac{10!}{4!6!}\cdot\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{10!}{4!4!} = 6300$$ permutaciones.
El mismo razonamiento funcionará para (2), excepto que ahora sólo tienes $7$ puestos a cubrir, cuatro con S y uno con M, PP y IIII: $$\binom74\binom31\binom21 = \frac{7!}{4!3!}\cdot\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{7!}{4!} = 7\cdot 6\cdot 5 = 210.$$
