Dada la palabra MISSISSIPPI se me pide contar el número de (1) permutaciones en las que todas las P's están juntas (2) permutaciones en las que las P's están juntas y las I's están juntas. Para la primera pregunta, hice $$\frac{9!}{4! 4!} \times 10$$ ya que tengo dos conjuntos de 4 letras indistinguibles, y multiplico por 10 porque las 2 P's se pueden colocar en 10 lugares diferentes entre o a los lados de las letras restantes. Sin embargo, la (2) me confunde. Comencé con $$\frac{5!}{4!}$$ y procedí a multiplicar por el número de formas en que las I's y P's podrían variar dentro de la palabra. Así que, fijando PP al principio, obtuve 6 variaciones para IIII, y viceversa. Pero ahora que puedo considerar mover PP una letra a la derecha (por ejemplo MPP...) y luego contar las posibilidades, parece complicarse. ¿Hay una manera más fácil de calcular (2) (y tal vez incluso (1)?)
Respuestas
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Si todas las P deben estar juntas, entonces es más simple considerarlas como un solo "bloque", PP, que debe permanecer juntas. Entonces solo necesitas arreglar este bloque y las letras M, S, S, S, S, I, I, I e I. Así que estás tratando de encontrar todas las posibles disposiciones de
PP, M, S, S, S, S, I, I, I, I
Esto te da 10 cosas para ordenar, $10!$, y luego debes dividir por las permutaciones de las S's ($4!$) y las de las I's ($4!$). Así que me parece que la respuesta a la primera pregunta debería ser $$\frac{10!}{4!4!}.$$ Eso da la misma respuesta que obtuviste, pero prepara el escenario para la segunda pregunta.
Para la segunda pregunta, pon todas las I juntas, y pon todas las P juntas. Necesitas organizar >
IIII, PP, M, S, S, S, S
entonces tienes 7 cosas para organizar; deberías dividir por las cuatro permutaciones de las S's, así que obtendría $$\frac{7!}{4!}$$ formas diferentes de hacerlo.
En (1) tienes en efecto $10$ posiciones que deben llenarse, una con PP, una con M y cuatro cada una con I y S. Hay $\dbinom{10}4$ formas de elegir cuáles de las $10$ posiciones serán I, $\dbinom64$ formas de elegir cuáles de las $6$ posiciones restantes serán S, y $\dbinom21$ formas de elegir una de las últimas dos posiciones para la M, dejando la otra para el PP. Esto suma un total de $$\binom{10}4\binom64\binom21 = \frac{10!}{4!6!}\cdot\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{10!}{4!4!} = 6300$$ permutaciones.
El mismo razonamiento funcionará para (2), excepto que ahora solo tienes $7$ posiciones que deben llenarse, cuatro con S y una cada una con M, PP e IIII: $$\binom74\binom31\binom21 = \frac{7!}{4!3!}\cdot\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{7!}{4!} = 7\cdot 6\cdot 5 = 210.$$
