Ordenando letras en la palabra

Question

Dada la palabra MISSISSIPPI se me pide contar el número de (1) permutaciones en las que todas las P's están juntas (2) permutaciones en las que las P's están juntas y las I's están juntas. Para la primera pregunta, hice $$\frac{9!}{4! 4!} \times 10$$ ya que tengo dos conjuntos de 4 letras indistinguibles, y multiplico por 10 porque las 2 P's se pueden colocar en 10 lugares diferentes entre o a los lados de las letras restantes. Sin embargo, la (2) me confunde. Comencé con $$\frac{5!}{4!}$$ y procedí a multiplicar por el número de formas en que las I's y P's podrían variar dentro de la palabra. Así que, fijando PP al principio, obtuve 6 variaciones para IIII, y viceversa. Pero ahora que puedo considerar mover PP una letra a la derecha (por ejemplo MPP...) y luego contar las posibilidades, parece complicarse. ¿Hay una manera más fácil de calcular (2) (y tal vez incluso (1)?)

Answer 1

Si todas las P deben estar juntas, entonces es más simple considerarlas como un solo "bloque", PP, que debe permanecer juntas. Entonces solo necesitas arreglar este bloque y las letras M, S, S, S, S, I, I, I e I. Así que estás tratando de encontrar todas las posibles disposiciones de

PP, M, S, S, S, S, I, I, I, I

Esto te da 10 cosas para ordenar, $10!$, y luego debes dividir por las permutaciones de las S's ($4!$) y las de las I's ($4!$). Así que me parece que la respuesta a la primera pregunta debería ser $$\frac{10!}{4!4!}.$$ Eso da la misma respuesta que obtuviste, pero prepara el escenario para la segunda pregunta.

Para la segunda pregunta, pon todas las I juntas, y pon todas las P juntas. Necesitas organizar >

IIII, PP, M, S, S, S, S

entonces tienes 7 cosas para organizar; deberías dividir por las cuatro permutaciones de las S's, así que obtendría $$\frac{7!}{4!}$$ formas diferentes de hacerlo.

Answer 2

En (1) tienes en efecto $10$ posiciones que deben llenarse, una con PP, una con M y cuatro cada una con I y S. Hay $\dbinom{10}4$ formas de elegir cuáles de las $10$ posiciones serán I, $\dbinom64$ formas de elegir cuáles de las $6$ posiciones restantes serán S, y $\dbinom21$ formas de elegir una de las últimas dos posiciones para la M, dejando la otra para el PP. Esto suma un total de $$\binom{10}4\binom64\binom21 = \frac{10!}{4!6!}\cdot\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{10!}{4!4!} = 6300$$ permutaciones.

El mismo razonamiento funcionará para (2), excepto que ahora solo tienes $7$ posiciones que deben llenarse, cuatro con S y una cada una con M, PP e IIII: $$\binom74\binom31\binom21 = \frac{7!}{4!3!}\cdot\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{2!}{1!1!} = \frac{7!}{4!} = 7\cdot 6\cdot 5 = 210.$$