Demostrar Combinatoric La Desigualdad

Question

Demostrar que $$\binom{n}{k}\ge\frac{n^k}{k!}\left( 1- \frac{k(k-1)}{n}\right)$$

para todos los $n\in\mathbb{N}$ $k\in\mathbb{N_0}$ donde $n\ge k.$

Creo que he intentado reescribir esta cerca de un millón de maneras diferentes ahora y todavía no estoy llegando a ningún lado. He reescrito la desigualdad de una manera que parece que sería útil, pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

$$\frac{n!}{k!(n-k)!}\ge\frac{n^k}{k!} - \frac{n^{k-1}}{(k-2)!}$$

Answer 1

Esto es cómo me gustaría empezar :

$$\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n^k}{k!}\underbrace{\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)}_{A_{j,n}} $$

Ahora el nombre del juego es demostrar que el $A_{j,n}$ es mayor que $\left(1-\frac{k(k-1)}{n}\right)$. Sugerencia : desarrollar el producto.